A hat endliches Maß < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:37 Fr 17.10.2014 | | Autor: | mariem |
Hallo!!!
Ich lese gerade den Beweis des Satzes:
Wenn A messbar ist, dann [mm] \forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \exists [/mm] offenes G [mm] \supset [/mm] A mit m(G [mm] \setminus A)<\epsilon.
[/mm]
Der Beweis ist der folgende:
Wir nehmen an, dass A endliches Maß hat.
Dann von der Definition des äußeren Maßes, gibt es offene Rechtecke [mm] R_n [/mm] sodass A [mm] \subset \cup_n R_n, \sum_n v(R_n)
Wir nehmen [mm] G=\cup_n R_n.
[/mm]
Meine Frage ist:
Warum können wir annehmen dass A endliches Maß hat??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:45 So 19.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mariem und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Ich lese gerade den Beweis des Satzes:
>
> Wenn A messbar ist, dann [mm]\forall \epsilon[/mm] >0 [mm]\exists[/mm]
> offenes G [mm]\supset[/mm] A mit m(G [mm]\setminus A)<\epsilon.[/mm]
Ich nehme mal an, es soll [mm] $A\subseteq\IR^k$ [/mm] Borel-messbar sein für ein [mm] $k\in\IN$?
[/mm]
$m$ bezeichnet das Lebesgue-Borel-Maß?
> Der Beweis ist der folgende:
>
> Wir nehmen an, dass A endliches Maß hat.
> Dann von der Definition des äußeren Maßes, gibt es
> offene Rechtecke [mm]R_n[/mm] sodass A [mm]\subset \cup_n R_n, \sum_n v(R_n)
>
> Wir nehmen [mm]G=\cup_n R_n.[/mm]
>
>
> Meine Frage ist:
>
> Warum können wir annehmen dass A endliches Maß hat??
Wir müssen dazu den Fall einer beliebigen messbaren Menge [mm] $A\subseteq\IR^k$ [/mm] auf den Fall mit messbaren Mengen endlichen Maßes zurückführen.
Eine Möglichkeit dazu (ich nehme dabei [mm] $0\notin\IN$ [/mm] an):
Sei [mm] $A\subseteq\IR^k$ [/mm] Borel-messbar und [mm] $\varepsilon>0$.
[/mm]
Gesucht ist eine offene Teilmenge [mm] $G\subseteq\IR^k$ [/mm] mit [mm] $G\supseteq [/mm] A$ und [mm] $m(G\setminus A)<\varepsilon$.
[/mm]
Für jedes [mm] $n\in\IN$ [/mm] sei
[mm] $A_n:=A\cap[-n,n]^k$.
[/mm]
Dann sind die [mm] $A_n$ [/mm] messbar mit endlichem Maß.
Nach dem in deinem Beweis gezeigten Spezialfall existieren offene Mengen [mm] $G_n\subseteq\IR^k$ [/mm] mit [mm] $G_n\supseteq A_n$ [/mm] und [mm] $m(G_n\setminus A_n)<2^{-n}*\varepsilon$.
[/mm]
Überlege dir nun, dass [mm] $G:=\bigcup_{n\in\IN}G_n$ [/mm] das Gewünschte leistet.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Mo 20.10.2014 | | Autor: | mariem |
Also wir nehmen an dass A messbar mit unendlichen Mass ist,oder nicht?
Und wir wollen zeigen dass der Satz auch dann gilt. Oder habe ich die Idee falsch verstanden?
Koenntest du mir erklaeren warum wir als [mm] A_n, A\cap [-n,n]^k [/mm] nehmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Mo 20.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Also wir nehmen an dass A messbar mit unendlichen Mass
> ist,oder nicht?
ja
> Und wir wollen zeigen dass der Satz auch dann gilt.
Ja
> Oder
> habe ich die Idee falsch verstanden?
Nein.
>
> Koenntest du mir erklaeren warum wir als [mm]A_n, A\cap [-n,n]^k[/mm]
> nehmen?
Die [mm] A_n [/mm] sind messbar und haben endliches Maß. Auf [mm] A_n [/mm] kannst Du also das schon Gezeigte anwenden !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Mo 20.10.2014 | | Autor: | mariem |
Also sind [mm] A_n [/mm] messbar mit endlichen Mass weil das der Schnitt von A und einen bestimmten Intervall ist?
Uebrigens, eben hatte ich vergessen zu erwaehnen dass $m$ das Lebesgue Mass ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 Mo 20.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Also sind [mm]A_n[/mm] messbar mit endlichen Mass weil das der
> Schnitt von A und einen bestimmten Intervall ist?
Es ist $ [mm] A_n=A\cap [-n,n]^k \subseteq [-n,n]^k=:B_n$
[/mm]
Dann ist [mm] m(A_n) \le m(B_n)< \infty
[/mm]
Wie groß ist [mm] m(B_n) [/mm] ???
FRED
>
>
>
> Uebrigens, eben hatte ich vergessen zu erwaehnen dass [mm]m[/mm] das
> Lebesgue Mass ist.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Mo 20.10.2014 | | Autor: | mariem |
Wenn es [-n,n] waere wuerde das Mass n-(-n)=2n sein, oder nicht?
Aber wie kann ich es jetzt finden wenn es [mm] [-n,n]^k [/mm] ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 Mo 20.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Wenn es [-n,n] waere wuerde das Mass n-(-n)=2n sein, oder
> nicht?
>
> Aber wie kann ich es jetzt finden wenn es [mm][-n,n]^k[/mm] ist?
Überlege Dir mal die Fälle k=2 und k=3,....
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Mo 20.10.2014 | | Autor: | mariem |
Um das zu finden kann ich den Satz benutzen, dass das Mass eines Rechteckes gleich den Volumen des Rechteckes ist?
Also waere dann das Mass von [mm] [-n,n]^2 [/mm] gleich [mm] (2n)^2 [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Mo 20.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Um das zu finden kann ich den Satz benutzen, dass das Mass
> eines Rechteckes gleich den Volumen des Rechteckes ist?
>
> Also waere dann das Mass von [mm][-n,n]^2[/mm] gleich [mm](2n)^2[/mm] ?
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Mo 20.10.2014 | | Autor: | mariem |
Also ist dann das Mass von [mm] [-n,n]^k [/mm] gleich [mm] (2n)^{k} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Mo 20.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Also ist dann das Mass von [mm][-n,n]^k[/mm] gleich [mm](2n)^{k}[/mm]
Bingo !
fred
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Mo 20.10.2014 | | Autor: | mariem |
> Nach dem in deinem Beweis gezeigten Spezialfall existieren
> offene Mengen [mm]G_n\subseteq\IR^k[/mm] mit [mm]G_n\supseteq A_n[/mm] und
> [mm]m(G_n\setminus A_n)<2^{-n}*\varepsilon[/mm].
>
> Überlege dir nun, dass [mm]G:=\bigcup_{n\in\IN}G_n[/mm] das
> Gewünschte leistet.
>
>
Gibt es einen bestimmten Grund dass wir [mm] 2^{-n}\varepsilon [/mm] nehmen and nicht nur [mm] \varepsilon [/mm] ?
Wir haben gezeigt dass wir den Satz fuer [mm] A_n [/mm] anwenden koennen. Wie folgen wir daraus dass wir es auch fuer A anwenden koennen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Mo 20.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Nach dem in deinem Beweis gezeigten Spezialfall existieren
> > offene Mengen [mm]G_n\subseteq\IR^k[/mm] mit [mm]G_n\supseteq A_n[/mm] und
> > [mm]m(G_n\setminus A_n)<2^{-n}*\varepsilon[/mm].
> >
> > Überlege dir nun, dass [mm]G:=\bigcup_{n\in\IN}G_n[/mm] das
> > Gewünschte leistet.
> >
> >
>
> Gibt es einen bestimmten Grund dass wir [mm]2^{-n}\varepsilon[/mm]
> nehmen and nicht nur [mm]\varepsilon[/mm] ?
Am Ende soll doch m(G $ [mm] \setminus A)<\epsilon [/mm] $ dastehen.
>
> Wir haben gezeigt dass wir den Satz fuer [mm]A_n[/mm] anwenden
> koennen. Wie folgen wir daraus dass wir es auch fuer A
> anwenden koennen?
Hä ? Das hat doch mein Vorredner oben alles geschrieben:
"Nach dem in deinem Beweis gezeigten Spezialfall existieren offene Mengen [mm]G_n\subseteq\IR^k[/mm] mit [mm]G_n\supseteq A_n[/mm] und [mm]m(G_n\setminus A_n)<2^{-n}*\varepsilon[/mm].
Überlege dir nun, dass [mm]G:=\bigcup_{n\in\IN}G_n[/mm] das Gewünschte leistet."
FRED
> >
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Mo 20.10.2014 | | Autor: | mariem |
Wenn wir die Vereinigung von alle [mm] G_n [/mm] nehmen haben wir am Ende G. Muessen wir nicht dann auch die Vereinigung von [mm] A_n [/mm] nehmen? Wie bekommen wir sonst das A?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Mo 20.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Wenn wir die Vereinigung von alle [mm]G_n[/mm] nehmen haben wir am
> Ende G. Muessen wir nicht dann auch die Vereinigung von [mm]A_n[/mm]
> nehmen? Wie bekommen wir sonst das A?
Es gilt in der Tat
[mm] $\bigcup_{n\in\IN}A_n=A$
[/mm]
und das wirst du auch benötigen.
Ich schrieb in meiner ersten Antwort:
"Gesucht ist eine offene Teilmenge [mm] $G\subseteq\IR^k$ [/mm] mit [mm] $G\supseteq [/mm] A$ und [mm] $m(G\setminus A)<\varepsilon$."
[/mm]
Um zu überprüfen, ob unser gefundenes [mm] $G=\bigcup_{n\in\IN}G_n$ [/mm] das Gewünschte leistet, ist also zu überlegen:
1. $G$ ist eine offene Teilmenge des [mm] $\IR^k$
[/mm]
2. [mm] $G\supseteq [/mm] A$
3. [mm] $m(G\setminus A)<\varepsilon$.
[/mm]
Tipp zu 3.:
Es gilt
[mm] $G\setminus A=(\bigcup_{n\in\IN}G_n)\setminus(\bigcup_{n\in\IN}A_n)\subseteq\bigcup_{n\in\IN}(G_n\setminus A_n)$
[/mm]
und damit
[mm] $m(G\setminus A)\le m(\bigcup_{n\in\IN}(G_n\setminus A_n))\le\sum_{n \in\IN}m(G_n\setminus A_n)<\ldots$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Mo 20.10.2014 | | Autor: | mariem |
1. Wenn [mm] G_n [/mm] eine offene Teilmenge von [mm] \IR^k [/mm] ist, bedeutet das auch dass [mm] \bigcup_{n\in\mathbb{N}}G_n [/mm] eine offene Teilmenge von [mm] \mathbb{R}^k [/mm] ist?
2. [mm] G_n \supseteq A_n \Rightarrow \bigcup_{n\in\mathbb{N}}G_n \supseteq \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n \Rightarrow [/mm] G [mm] \supseteq [/mm] A
3. [mm] G\setminus A=(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}G_n)\setminus(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n)\subseteq\bigcup_{n\in\mathbb{N}}(G_n\setminus A_n)
[/mm]
Also [mm] m(G\setminus A)\le m(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}(G_n\setminus A_n))\le\sum_{n \in\mathbb{N}}m(G_n\setminus A_n)<\sum_{n \in\mathbb{N}}\frac{\epsilon}{2^n}=\epsilon
[/mm]
Ist es richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:53 Di 21.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
> 1. Wenn [mm]G_n[/mm] eine offene Teilmenge von [mm]\IR^k[/mm] ist, bedeutet
> das auch dass [mm]\bigcup_{n\in\mathbb{N}}G_n[/mm] eine offene
> Teilmenge von [mm]\mathbb{R}^k[/mm] ist?
Ja, da beliebige Vereinigungen offener Teilmengen wieder offen sind.
> 2. [mm]G_n \supseteq A_n \Rightarrow \bigcup_{n\in\mathbb{N}}G_n \supseteq \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n \Rightarrow[/mm]
> G [mm]\supseteq[/mm] A
>
>
> 3. [mm]G\setminus A=(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}G_n)\setminus(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n)\subseteq\bigcup_{n\in\mathbb{N}}(G_n\setminus A_n)[/mm]
>
> Also [mm]m(G\setminus A)\le m(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}(G_n\setminus A_n))\le\sum_{n \in\mathbb{N}}m(G_n\setminus A_n)<\sum_{n \in\mathbb{N}}\frac{\epsilon}{2^n}=\epsilon[/mm]
>
>
> Ist es richtig?
Ja! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:38 Di 21.10.2014 | | Autor: | mariem |
Wenn man gezeigt hat G die drei EIgenschaften erfüllt, kommt man zum Ergebnis dass der Satz auch gilt wenn A messbar mit unendlichen Mass ist. Richtig?
Also, der Grund dass wir am Anfang annehmen dass A endlichen Mass hat, ist dass man den Satz anwenden kann in den Fall wenn A unendlichen Mass hat. Ist es richtig so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:50 Di 21.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Wenn man gezeigt hat G die drei EIgenschaften erfüllt,
> kommt man zum Ergebnis dass der Satz auch gilt wenn A
> messbar mit unendlichen Mass ist. Richtig?
Ja.
> Also, der Grund dass wir am Anfang annehmen dass A
> endlichen Mass hat, ist dass man den Satz anwenden kann in
> den Fall wenn A unendlichen Mass hat. Ist es richtig so?
Ja, man kann den Spezialfall des Satzes, dass $A$ endliches Maß hat, anwenden, um den allgemeinen Fall darauf zurückzuführen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:34 Di 21.10.2014 | | Autor: | mariem |
Ich habe es verstanden!! Danke fuer die Hilfe!!!
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