AWP-Anfangswertproblem < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hallo,
ich soll folgende AWPs lösen:
1. y''+2y'+y=0, y(0)=3,y'(0)=0
2. 4y'''+12y''+9y'0, y(0)=y'(0)=1, y''(0)=-3
1. Versucht zu lösen ;) :
charakteristisches Polynom :
[mm]\lambda^{2}[/mm]+2[mm]\lambda[/mm]+1=0
[mm]\lambda[/mm]=-1
y(t)= [mm]c_{1}[/mm][mm]e^{-t}[/mm]
y'(t)=[mm]c_{1}[/mm][mm] e^{-t}[/mm]
==> y(0)=[mm]c_{1}[/mm]=3
y'(0)=[mm]c_{1}[/mm]=0
Was sagt mir das jetzt????
2.beim zweiten komme ich auf was ähnliches:
y(0)=[mm]c_{1}[/mm]+[mm]c_{2}[/mm]=1
y'(0)=-[mm] \bruch{3}{2}[/mm][mm]c_{2}[/mm]=1
y''(0)=[mm] \bruch{9}{4}[/mm][mm]c_{2}[/mm]
und zwar komme ich für [mm]c_{2}[/mm]= [mm] \bruch{2}{3} [/mm] und einmal auf [mm]c_{2}[/mm]= [mm]\bruch{9}{4}[/mm].
Und damit kann ich auch nichts anfangen ;(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo phys1kAueR,
das charakteristische Polynom hat ja die doppelte Nullstellen [mm] $\lambda=-1$, [/mm] daher spannt die Lösung [mm] $c_1\cdot e^{-x}$ [/mm] nicht den kompletten Lösungsraum auf! Du brauchst noch eine weitere Lösung. Man kann eine weitere Gleichung raten, indem man einfach die Funktion [mm] $y(x)=(a+bx)\cdot e^{\lambda x}$ [/mm] und kannst aus diesen Bedingungen $a,b$ bestimmen. Damit erhälst du eine zweite Lösung.
Das andere charakteristische Polynom hat auch eine dopplete Nullstelle - da musst du also analog vorgehen.
Gruß Max
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okay ich habe mir folgende 2. gl überlegt: [mm]y_{2}[/mm](t)=t [mm]e^{t}[/mm]. kann ich die nehmen, oder is das ganz schlecht????
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo phys1kAueR,
hast du nicht [mm] $\lambda=-1$? [/mm] Also ich schon 
Damit komme ich auf die Lösung [mm] $y(t)=c_1\cdot e^{-t}+c_2 \cdot [/mm] t [mm] \cdot e^{-t}$.
[/mm]
Und jetzt noch die spezielle Lösung $y(t)$ durch die Anfangsbedingungen bestimmen.
Gruß Max
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hab hab für [mm]c_{1}[/mm]=0 und für [mm]c_{2}[/mm]=3 raus. is das richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Max |
Nein. Du müsstes auf andere Ergebnisse kommen. Wie lautet denn dein $y'(t)$?
Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:45 Mi 27.04.2005 | | Autor: | phys1kAueR |
mein y'(t) lautet:
y'(t)=[mm] c_{1}[/mm][mm] e^{-t}[/mm]+[mm] c_{2}[/mm](1-x)[mm] e^{-t}[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:57 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Max |
Ja, dass passt. Jetzt nur noch $y(0)=3$ und $y'(0)=0$ ausnutzen...
Max
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:15 Mi 27.04.2005 | | Autor: | phys1kAueR |
durch einsetzen/umformen von y(0)=3=[mm]c_{2}[/mm]+[mm]c_{1}[/mm]in y'(0)=0 komme ich zu: 3- [mm]c_{2}[/mm]x, und dann muss ich doch [mm]c_{2}[/mm] ausrechnen oder???
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:25 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Max |
So, jetzt hast du es geschafft und ich rechne deine Aufgabe für dich...
$y(0)=3 [mm] \gdw c_1 \cdot e^0 [/mm] + [mm] c_2 \cdot [/mm] 0 [mm] \cdot e^0 [/mm] =3 [mm] \gdw c_1=3$
[/mm]
$y'(0)=0 [mm] \gdw -c_1 \cdot e^0 +c_2 (1-0)\cdot e^0=0 \gdw -c_1+c_2=0 \gdw c_2=c_1$
[/mm]
Also ist [mm] $c_1=c_2=3$ [/mm] und damit $y(t)=3 [mm] (1+t)\cdot e^{-t}$.
[/mm]
Jetzt rechnest du aber mal die zweite selber aus
Gruß Max
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