ASCII-Code < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Hulpi |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Entschlüsseln Sie das folgende Zitat:
[gAnHFnH AnE{{v nEHnO dHjn#nH jd{ mncnH qd{ OdH dO KEnc{vnH
{nKcn# cnAdkvnH OLngAvn
a [nKOd kdmn#Klni
Hinweis: Das Wort Weihnachten wird verschlüsselt zu QnEAHdgAvnH. Zur Verschlüsselung
wurde ein Isomorphismus $Z^7_2$ -> $Z^7_2$ verwendet, wobei jeweils die ASCIICodes
mit 7 Bit abgebildet wurden. Aus technischen Gründen wurde ein Zeichen verändert:
# <-> 1111111.
Informationen zum ASCII-Code:
AZ <-> 1000001 1011010,
az <-> 1100001 1111010,
{ <-> 1111011, [ <-> 1011011 |
Hallo,
so Weihnachten ist vorbei und jetzt schreit die Mathematik wieder nach Lösungen und da bin ich über die obrige Aufgabe gestolpert.
Ich weiß das es bei einem Isomorphismus eine bijktive Abbildung geben muss, nur ist das Problem wie realisier isch das ganze ohne lanwieriges raten. Offenbar bekommt jeder Buchstabe einen siebenstelligen Zahlencode zugewiese, der dann abgebildet und verändert wird.
Offensichtlich bleibt die Anzahl der Elemente gleich, also Weihnachten wird mit 11 anderen Zeichen verschlüsselt. Soll ich dadurch den Algorhytmus erkennen, also die jeweiligen Veränderungen in der Zahlenkette.
Problem ist nur ich versteh die Ziffernverteilung nicht, wie gehen die da vor, also A und Z sind ja gegeben aber die verändern sich die dazwischen?
Vielleicht habt ihr ja Tips oder Ideen wie man da rangeht, sieht für mich ziemlich na einer Knobbelaufgabe aus :S.
Viele Grüße,
Hulpi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Hulpi |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Tut mir leid wegen den {-Zeichen, also falls es bei euch auch diesen Fehler anzeigt, dass kein entsprechendes Gegenzeichen vorliegt. Ich habs versucht zu umgehen, es wollte aber nicht =(
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benutze doch mal die code tags : [code]dein text[/code]
> verwendet, wobei jeweils die ASCIICodes
> mit 7 Bit abgebildet wurden. Aus technischen Gründen
> wurde ein Zeichen verändert:
> # <-> 1111111.
> Informationen zum ASCII-Code:
> AZ <-> 1000001 1011010,
> az <-> 1100001 1111010,
> <-> 1111011, [ <-> 1011011
>
> Hallo,
>
> so Weihnachten ist vorbei und jetzt schreit die Mathematik
> wieder nach Lösungen und da bin ich über die obrige
> Aufgabe gestolpert.
> Ich weiß das es bei einem Isomorphismus eine bijktive
> Abbildung geben muss, nur ist das Problem wie realisier
> isch das ganze ohne lanwieriges raten. Offenbar bekommt
> jeder Buchstabe einen siebenstelligen Zahlencode zugewiese,
> der dann abgebildet und verändert wird.
> Offensichtlich bleibt die Anzahl der Elemente gleich, also
> Weihnachten wird mit 11 anderen Zeichen verschlüsselt.
> Soll ich dadurch den Algorhytmus erkennen, also die
> jeweiligen Veränderungen in der Zahlenkette.
> Problem ist nur ich versteh die Ziffernverteilung nicht,
> wie gehen die da vor, also A und Z sind ja gegeben aber die
> verändern sich die dazwischen?
> Vielleicht habt ihr ja Tips oder Ideen wie man da rangeht,
> sieht für mich ziemlich na einer Knobbelaufgabe aus :S.
das A steht beim ascii als 1000001,
B als 1000010
C als 1000011
usw
hier wird also nur binär hochgezählt.
für schnellere hilfe sorgen ASCII-Tables!
>
> Viele Grüße,
>
> Hulpi
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Hulpi |
Danke für den Tip :).
Ok, wenn ich die den Buchstaben dann den jeweiligen Binärcode zugeordnet habe, muss ich dann mit Hilfe des Wortes Weihnachten auf die Bijektion kommen, also muss ich dadurch herausfinden können welche Buchstaben wie ersetzt wurden, weil es werden diese Codes ja in vertauschter Form abgebildet oder verwechsle ich da was?
Gruß,
Hulpi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Mi 05.01.2011 | | Autor: | chrisno |
Schreib doch jeweils in eine Zeile darunter die Buchstaben, die Du von Weihnachten her schon kennst. Da hast Du schon drei Vokale und z und n. Vielleicht ergibt ich der Sinn schon nur, wenn Du den Text dann einfach ansiehst. Ich gehe davon aus, dass das Leerzeichen nicht unkodiert wurde. Dann hast Du bei den Worten mit drei Buchstaben nicht so viel Auswahl.
So hat es eben eine 13jährige die gerade zu Besuch war in etwa 5 Minuten entschlüsselt. Das a in der letzten Zeile ist noch unklar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Fr 07.01.2011 | | Autor: | Hulpi |
Ok, ich habs rausgefunden, Selma machts möglich. Aber nun doch noch eine Frage zum Verständnis. Wie hätte ich das ganze mithilfe dessen was ich über Isomorphismen weiß lösen sollen :S.
Folgt das ganze iner bestimmten Regelmäßigkeit oder sind, wie ich vermute die Bijektion wild über das ganze Alphabet verteilt.
Habt ihr eine Idee wie man das ganze ohne Knobbeln lösen könnte, sofern es geht natürlich.
Gruß,
Hulpi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Fr 07.01.2011 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
das Geheimnis, um das ganze ohne Knobelei zu lösen, liegt in der Zusatziformation "...wurde ein Isomorphismus [mm]Z_2^7 \rightarrow Z_2^7[/mm] verwendet".
Ein isomorphismus von zwei Vektorräumen ist ja eine lineare Abbildung und die ist eindeutig bestimmt, wenn man die Bilder einer Basis des Vektorraums kennt.
Also:
1.) Betrachte die ASCII-Zeichen als 7er-Vektoren über dem Körper [mm] $Z_2$
[/mm]
2.) Versuche, im Wort "Weihnachten" 7 linear unabhängige Vektoren zu finden (ich hoffe, da sind so viele drin - ich habe es nicht nachgeprüft), diese bilden eine Basis B des [mm] $Z_2^7$.
[/mm]
3.) Mit Hilfe der Bilder dieser Basisvektoren kannt Du dann eine Matrixdarstellung des Isomorphismus bezüglich der Basis B finden.
4.) Diese Matrixdarstellung kannstDu dann umrechnen in eine Matrixdarstellung bezüglich der "kanonischen Basis"
5.) Diese Matrix musst Du nun noch (über [mm] $Z_2$) [/mm] invertieren und schon hast Du eine Matrix zum entschlüsseln.
Klar, mit knobeln kommt man deutlich schneller ans Ziel (und auch in solchenFällen, wo man nicht weiss, dass man es mit einem Vektorraum-Isomorphismus zu tun hat), aber auf diesem Weg lernt man etwas mehr lineare Algebra....
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Sa 08.01.2011 | | Autor: | Hulpi |
Super, vielen Dank für die Erklärung. Leider tun sich bei mir da, wie ich gerade feststelle, Abgründe auf.
Ich weiß zwar was lineare Unabhängigkeit bedeutet und behaupte auch, dass ich in der Lage bin solche zu erkennen, aber ich war bisher nur mit kleineren Matrizen beschäftigt. Will sagen, mir ist nicht klar wie ich das bei einer 7x7-Matrix effizient mache. Ich hab da mal was von ner Determinaten gehört, ist das hier das richtige Stichwort zum weiterforschen?
Mir ist noch eine zweite Sache nicht ganz klar.
Ich bei meiner Betrachtung von "Weihnachten" aus, also von der Basis für die realen Buchstaben oder?
Dann schaue ich mir die verschlüsselte Variante an, also die Bilder an. Jetzt muss ich eine Abbildungsvorschrift finden, also eine mit der die Verschlüsselung arbeitet, oder?
Ich muss auch beim 4. Schritt nochmal nachfragen, wenn ich das dann habe, sofern das, was ich bisher gesagt habe richtig war, wie rechnet man etwas "in eine Matrixdarstellung bezüglich der "kanonischen Basis"" um.
Die kanonische Basis, war doch die aus den Einheitsvektoren oder?
Okund jetzt noch eine frage zum Ergebnis, wenn ich die Matrix dann invertiert habe, was ich wie ich denke kann =), was sagt mir dieses Ergebnis oder was kann ich daran entschlüsseln?
Ist das dann die Abbildungsvorschrift?
Sry für die vielen Fragen aber ich war so glücklich mal ein verfizierbares Ergebnis zu haben, dass mich der "richtige" Weg doch genau interessiert.
Viele Grüße,
Hulpi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 So 09.01.2011 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> Ich bei meiner Betrachtung von "Weihnachten" aus, also von
> der Basis für die realen Buchstaben oder?
Die Frage ist richtig gut. Denn geht man von den verschlüsselten Buchstaben aus, dann erhält man ja gleich die Umkehrabbildung der Verschlüsselung (also die Entschlüsselung), die ja auch ein Isomorphismus ist und daher nach den gleichen Regeln aufgestellt werden kann. Dann kann man sich das Invertieren der Matrix sparen.
Also besser von den verschlüsselten Buchstaben ausgehen.
> Dann schaue ich mir die verschlüsselte Variante an, also
> die Bilder an. Jetzt muss ich eine Abbildungsvorschrift
> finden, also eine mit der die Verschlüsselung arbeitet,
> oder?
Genau darauf will ich mit der Abbildungsmatrix hinaus. Wir wissen, dass die Abbildungsvorschrift (jetzt für die Entschlüsselung) [mm]x\mapsto A\cdot x[/mm] mit einer geeigneten Matrix A lautet. Jetzt müssen wir noch das passende A finden.
> Ich weiß zwar was lineare Unabhängigkeit bedeutet und behaupte auch, > dass ich in der Lage bin solche zu erkennen, aber ich war bisher nur > mit kleineren Matrizen beschäftigt. Will sagen, mir ist nicht klar
> wie ich das bei einer 7x7-Matrix effizient mache. Ich hab da mal was > von ner Determinaten gehört, ist das hier das richtige Stichwort zum > weiterforschen?
Wenn Du Dir die Vektoren einmal genau anschaust kannst Du sehen, dass alle in der ersten Koordinate eine 1 stehen haben - die können wir also schon mal ignorieren und betrachten nur die letzten sechs Bit.
Wir bewegen uns also nur in einem sechsdimensionalen Teilraum und brauchen daher auch nur 6 Basisvektoren.
Jetzt schreibe einfach mal die 8 verschiedenen Buchstaben des verschlüsselten "Weihnachten" jeweils als Spaltenvektoren nebeneinander und versuche, den Gauss-Algorithmus (nur mit elementaren Spaltenumformungen, allerdings unter [mm] $Z_2$) [/mm] anzuwenden.
Dann siehst Du relativ schnell, welche 6 Vektoren Du verwenden kannst, um eine Basis zu erhalten.
> Ich muss auch beim 4. Schritt nochmal nachfragen, wenn ich
> das dann habe, sofern das, was ich bisher gesagt habe
> richtig war, wie rechnet man etwas "in eine
> Matrixdarstellung bezüglich der "kanonischen Basis"" um.
> Die kanonische Basis, war doch die aus den Einheitsvektoren
> oder?
Genau, die kanonische Basis ist die aus den Einheitsvektoren.
Man könnte die entsprechende Matrix natürlich entsprechend den REgeln für die Basistransformation ausrechnen, aber am schnellsten geht es wahrscheinlich so:
Wenn Du oben den Gauss-Algorithmus anwendest, dann schreibst Du dir in jeder Spalte noch den jeweiligen Bildvektor darunter und wendest genau die gleichen Umformungen an.
Am Ende des Gauss-Algorithmus hast Du links ja nur noch Einheitsvektoren stehen und rechts sind dann schon automatisch die richtigen Bildvektoren.
Die musst Du dann noch in dierichtige Reihenfolge bringen und schon hast Du die Entschlüsselungsmatrix A.
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 So 09.01.2011 | | Autor: | Hulpi |
Vielen Dank, ichkanns echt gut nachvollziehen =). Nur noch eine Kleinigkeit zum letzten.
Also wenn ich diese 6 linear unabhängigen Vektoren gefunden habe, wende ich den Gauß-Algorithmus an um aus ihnen die Basis zu bauen.
Du sagst also ich soll dann die gleichen Umformung die ich für diese 6 Vektoren nehme auch für die jeweiligen Bildvektoren nehmen?
Ok, ich nehme mal, das ist noch richtig =).
Da brauch ich dann einen Verständnisanstoß, wenn ich links dann die Einheitsvektoren, die die Basis meiner verschlüsselten Botschaft bilden bzw. des $ [mm] Z_2^7 [/mm] $, was genau sind die zugehörigen Bildvektoren. Also, klar es sind die Abbilder der "Verschlüsselungs-Basisvektoren", aber was steckt noch dahinter?
Kann ich mir dann jeden Einzelnen Basisvektor und sein zugehöriges Abbild schnappen und mit der Abbildungsvorschrift $ [mm] x\mapsto A\cdot [/mm] x $ die Matrix bestimmen?
Aber dann bräuchte ich die Umordnung die Du am SChluss beschreibst nicht und hätte A bereits oder hab ich da was vermischt?
Vielleicht könntest nur kurz noch ein zwei sätze dazu sagen =).
Gruß,
Hulpi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 Mo 10.01.2011 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
wenn Du am Anfang die Vektoen hinschreibst stehen da ja die "ursprünglichen" Basisvektoren mit ihren "ursprünglichen" Bildvektoren, d.h. zu jedem Vektor x hast Du einen Vektor y mit f(x)=y.
Wenn Du jetzt eine elementare Umformung durchführst, dann bleibt diese Eigenschaft bei einer linearen Abbildung f in jedem Schritt erhalten (du kannst Dir ja noch überlegen warum). Wird also aus x durch elementare Umfomungen ein [mm]\tilde{x}[/mm] und durch entsprechende Umformungen aus y ein [mm]\tilde{y}[/mm], dann gilt immer noch [mm] $f(\tilde{x}) [/mm] = [mm] \tilde{y}$.
[/mm]
Wenn Du also mit dem Gauss-Algorithmus durch bist hast Du zu jedem Einheitsvektor den zugehörigen Bildvektor.
Umsortieren musst Du dann, wenn im Ergebnis die Basisvektoren nicht in der "richtigen" Reihenfolge stehen. In dieAbbildungsmatrix A muss ja in die erste Spalte das Bile von [mm] $e_1$, [/mm] in die zweite Spalte das Bild von [mm] $e_2$ [/mm] usw [mm] ($e_i$ [/mm] ist der i-te Einheitsvektor).
Gruß
piet
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