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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Mi 06.04.2005 | | Autor: | ilse |
wie kann ich folgende Ungleichung beweisen?
[mm] a^{ \bruch{1}{p}} \* b^{ \bruch{1}{q}} \le \bruch{1}{p}a [/mm] + [mm] \bruch{1}{q}b [/mm]
wobei [mm] \bruch{1}{p} [/mm] + [mm] \bruch{1}{q} [/mm] = 1 und p>1
für p=q ist mir der Beweis klar, aber für p#q ...?
kann man das irgendwie mit dem logaritmus beweisen?
denn es müsste ja eigentlich gelten
ln(a)/p <= ln(a/p), das müsste ich zum Beweis doch irgendwie verwenden können, oder?
Wäre toll wenn mir da jemand weiterhelfen könnte.
"Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt"
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Hallo Ilse!
Das ist übrigens die Young'sche Ungleichung, so haben wir das jedenfalls aufgeschrieben. Was bedeutet denn AG-Ungleichung?
Also, wir haben das folgendermaßen aufgeschrieben (oder meinst du was anderes?):
[mm] ab\le\bruch{1}{p}a^p+\bruch{1}{q}b^q
[/mm]
Das könnte man umschreiben (bzw. den log darauf anwenden) zu:
log a+log b [mm] \le [/mm] log [mm] (\bruch{1}{p}a^p+\bruch{1}{q}b^q)
[/mm]
und das wiederum gilt wegen der Konkavität des Logarithmus, nämlich:
[mm] \log(\bruch{1}{p}a^p+\bruch{1}{q}b^q) \ge \bruch{1}{p}\log a^p+\bruch{1}{q}b^q [/mm] = log a+log b
(konkav bedeutet: f(tx+(1-t)y [mm] \ge [/mm] tf(x)+(1-t)f(y), hier also [mm] t=\bruch{1}{p} [/mm] und [mm] (1-t)=\bruch{1}{q})
[/mm]
Und das müsste es eigentlich schon gewesen sein.
Ich hoffe, ich habe hier jetzt nichts durcheinander gebracht, wir hatten das nämlich auch etwas seltsam aufgeschrieben.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Mi 06.04.2005 | | Autor: | ilse |
Danke für deine Antwort.
Die Bezeichnung "AG-Ungleichung" habe ich im Internet http://www.math.hu-berlin.de/~ana14/html/node16.html gefunden, kann aber auch sein dass dies nicht die korrekte Bezeichnung ist.
Hast du vielleicht auch noch einen Beweis für die Konkavität des Logaritmus parat?
ich finde es ja logisch, dass:
ln(a)/p <= ln(a/p) für p>0 gilt,
aber dass:
ln(a)+ln(b) <= ln(a+b) ist, versteh ich nicht so wirklich.
Schönen Abend noch!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:39 Mi 06.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Du darfst die Bedingung der Konkavität, so wie sie Christiane aufgeschrieben hat, nicht in zwei Teilbedingungen "zerstückeln".
Eine zweimal stetig differenzierbare Funktion $f:D [mm] \to \IR$ [/mm] ist konkav, wenn für alle $x [mm] \in [/mm] D$ gilt:
$f''(x) [mm] \le [/mm] 0$.
Nun gilt aber für [mm] $f(x)=\ln(x)$ [/mm] offenbar:
$f''(x) = [mm] -\frac{1}{x^2} [/mm] <0$ für alle $x [mm] \in D=(0,+\infty)$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:11 Do 07.04.2005 | | Autor: | ilse |
hallo,
ok jetzt hab ich's glaub verstanden danke für eure hilfe!
bis zum nächsten mal.
Viele Grüße Ilse
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