7 in Z[i] irreduzibel? < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Ist 2 in [mm] \IZ[i] [/mm] irreduzibel ?
b) Ist 7 in [mm] \IZ[i] [/mm] irreduzibel ? |
Also, ich weiß:
a) 2 ist nicht irreduzibel in [mm] \IZ[i], [/mm] da 2=(1+i)*(1-i)
Vom Gefühl her ist mir auch relativ klar, dass 7 in [mm] \IZ[i] [/mm] irreduzibel ist, aber wie beweist man das?
Natürlich kann man allgemein den Ansatz (a+bi)*(c+di) = 7 aufstellen, aber das bringt mich irgendwie nicht weiter.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:10 Di 23.05.2006 | | Autor: | laryllan |
Hallo willikufalt,
Du hast schon recht es ist etwas holprich.
Möglichkeit a): Du argumentierst damit, dass 7 sicht als 7+0*i schreiben lässt und beschäftigst dich nur mit einem Binom 3. Art.
b) (deutliche eleganter): Du benutzt die (euklidische) Normabbildung - Hierbei ist natürlich die Frage, ob ihr sie schon hattet.
Solltest du mal einen Blick auf Möglichkeit b) werfen wollen, dann gib bescheid, dann poste ich dir das drunter.
(Warum ich das nicht gleich mache? - Als ich mich mit Alg/ZT auseinandersetzte hat mir der Hinweis "Benutze die Norm" geholfen und ich kam alleine drauf.)
Namárie,
sagt ein Lary, wo nu weiter seinen Zettel tex´t
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:03 Di 23.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> b) (deutliche eleganter): Du benutzt die (euklidische)
> Normabbildung - Hierbei ist natürlich die Frage, ob ihr sie
> schon hattet.
Genau, benutze die Norm. Damit geht das.
Und falls ihr die Norm nicht hattet: Schau dir die Funktion $f : [mm] \IZ[i] \to \IN_{\ge 0}$ [/mm] an mit $z [mm] \mapsto |z|^2$. [/mm] Diese ist multiplikativ.
Es gilt also [mm] $7^2 [/mm] = f(7) = f(a b) = f(a) f(b)$, wenn $a, b [mm] \in \IZ[i]$ [/mm] mit $a b = 7$ sind. Und weiterhin ist $f(a) = 1$ genau dann, wenn $a [mm] \in \IZ[i]^*$ [/mm] ist (das musst du kurz verifizieren).
Wenn also $7$ nicht irreduzibel ist, so muss $f(a) = f(b) = 7$ sein (Primfaktorzerlegung in [mm] $\IZ$). [/mm] Und jetzt untersuche mal, ob es ein Element der Norm 7 gibt...
LG Felix
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"Und weiterhin ist $ f(a) = 1 $ genau dann, wenn $ a [mm] \in \IZ[i]^\cdot{} [/mm] $ ist (das musst du kurz verifizieren). "
1. warum soll ich das verifizieren?
2. das ist doch nonsens, oder? Oder raff´ich das überhaupt nicht?
"Wenn also $ 7 $ nicht irreduzibel ist, so muss $ f(a) = f(b) = 7 $ sein (Primfaktorzerlegung in $ [mm] \IZ [/mm] $). Und jetzt untersuche mal, ob es ein Element der Norm 7 gibt..."
Gibt es nicht. Genauer kann man wohl sagen: $k [mm] \in \IZ[i] \gdw$ [/mm] k lässt sich als Summe zweier Quadratzahlen darstellen. Richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 So 28.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> "Und weiterhin ist [mm]f(a) = 1[/mm] genau dann, wenn [mm]a \in \IZ[i]^\cdot{}[/mm] [/i][/mm]
Dieser [mm] $\cdot$ [/mm] da soll ein [mm] $\ast$ [/mm] sein. (Danke lieber Formeleditor...)
> ist (das musst du kurz verifizieren). "
>
> 1. warum soll ich das verifizieren?
Weil du das brauchst:
Du willst ja zeigen: Ist $7 = a b$ mit $a, b [mm] \in \IZ[i]$, [/mm] so gilt entweder $a [mm] \in \IZ[i]^\ast$ [/mm] oder $b [mm] \in \IZ[i]^\ast$. [/mm] Fuer $f$ heisst das nun: [mm] $7^2 [/mm] = f(7) = f(a) [mm] \cdot [/mm] f(b)$ mit $f(a), f(b) [mm] \in \IN$, [/mm] und du musst zeigen $f(a) = 1$ oder $f(b) = 1$ (da $f(a) = 1$ bzw. $f(b) = 1$ aequivalent zu $a [mm] \in \IZ[i]^\ast$ [/mm] bzw. $b [mm] \in \IZ[i]^\ast$ [/mm] ist).
Verstehst du es jetzt?
> 2. das ist doch nonsens, oder? Oder raff´ich das überhaupt nicht?
Wieso sollte das nonsens sein?!
> "Wenn also [mm]7[/mm] nicht irreduzibel ist, so muss [mm]f(a) = f(b) = 7[/mm]
> sein (Primfaktorzerlegung in [mm]\IZ [/mm]). Und jetzt untersuche
> mal, ob es ein Element der Norm 7 gibt..."
>
> Gibt es nicht.
Genau.
> Genauer kann man wohl sagen: [mm]k \in \IZ[i] \gdw[/mm]
> k lässt sich als Summe zweier Quadratzahlen darstellen.
> Richtig?
Du meinst, es gibt genau dann ein Element $a [mm] \in \IZ[i]$ [/mm] mit $f(a) = k$, wenn $k$ als Summe zweier Quadratzahlen geschrieben werden kann?!
Ja, das gilt. Wenn $f(a) = k = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2$ [/mm] ist mit $x, y [mm] \in \IZ$, [/mm] so nimm $a = x + i y [mm] \in \IZ[i]$.
[/mm]
LG Felix
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Dieser $ [mm] \cdot [/mm] $ da soll ein $ [mm] \ast [/mm] $ sein.
Diesen Punkt habe ich nicht mal gesehen. Dann ist es natürlich klar.
(Was habe ich darüber gerätselt...)
Danke.
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