6. Einheitswurzeln < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich soll nachweisen, dass die 6. Einheitswurzeln die Ecken eines regelmäßigen Sechs-Ecks bilden.
Wie funktioniert das?
Danke.
Gruß
Alex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Mo 14.08.2006 | | Autor: | statler |
Auch hallo!
> Ich soll nachweisen, dass die 6. Einheitswurzeln die Ecken
> eines regelmäßigen Sechs-Ecks bilden.
>
> Wie funktioniert das?
Wenn du mit komplexen Zahl rechnen kannst und darfst, dann sind das die 6 Zahlen
[mm] z_{n} [/mm] = [mm] e^{in\bruch{\pi}{3}}, [/mm] n = 0, 1, ... , 5
oder auch
[mm] z_{n} [/mm] = cos(n*60°) + i*sin(n*60°)
Mit diesen Werten müßtest du dir jetzt eine Zeichnung machen, dann würde es wahrscheinlich klar.
Wenn du nicht komplex rechnen kannst, hast du nur 2 6. Einheitswurzeln, nämlich 1 und -1, das ist kein 6eck.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Die Wurzeln sind bei mir:
[mm] \alpha_1=1
[/mm]
[mm] \alpha_2=-1
[/mm]
[mm] \alpha_{3/4}= \bruch{1}{2}\pm\bruch{1}{2} \wurzel{3}
[/mm]
[mm] \alpha_{5/6}=-\bruch{1}{2}\pm\bruch{1}{2} \wurzel{3}
[/mm]
Ich habe die Wurzeln auch schon in die Gauß´sche Zahlenebene eingezeichnet - es ergibt auch ein 6-Eck -, nur weiß ich nicht wie ich das zeigen soll.
Gruß
Alex
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Mo 14.08.2006 | | Autor: | statler |
...du kannst dir z. B. überlegen, wie weit jede dieser Zahlen (also jeder dieser Punkte) vom Ursprung entfernt ist. Und dann kannst du dir ebenfalls überlegen, welchen Winkel jede dieser Zahlen mit der x-Achse bildet. Und dann vergleich das mal mit den entsprechenden Werten beim regelmäßigen 6eck.
Das sollte dann als Beweis reichen!
Gruß
Dieter
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