5 Quadratischer Rest (modp) < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei p eine ungerade Primzahl, [mm] p\not=5. [/mm] Zeige, dass
[mm] $(\bruch{5}{p})=1 \gdw p\equiv\pm1(mod5)$. [/mm] |
Hallo!
Ich habe von dieser Aufgabe bis jetzt nur eine Richtung beweisen können, für die andere habe ich leider keine Ideen.
Also erstmal meine Halblösung:
zeige: [mm] p\equiv\pm1(mod5)\Rightarrow(\bruch{5}{p})=1
[/mm]
Beweis: es ist [mm] 5\equiv1(mod4) \Rightarrow (\bruch{5}{p})=(\bruch{p}{5}) [/mm] und mit [mm] p\equiv\pm1(mod5) \Rightarrow (\bruch{p}{5})=(\bruch{\pm1}{5})
[/mm]
Es folgt mit dem 1. Ergänzungssatz: [mm] (\bruch{5}{p})=(\bruch{p}{5})=(\bruch{\pm1}{5})=1 [/mm] wzbw
In die andere Beweisrichtung komme ich leider nicht ans Ziel.
Vielleicht könnte man wieder [mm] (\bruch{5}{p})=(\bruch{p}{5}) [/mm] benutzen, aber von da aus komme ich nicht weiter.
Ich bin deshalb dankbar für Hinweise.
Gruß Vic
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:46 Mi 20.01.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> Sei p eine ungerade Primzahl, [mm]p\not=5.[/mm] Zeige, dass
> [mm](\bruch{5}{p})=1 \gdw p\equiv\pm1(mod5)[/mm].
> Hallo!
> Ich habe von dieser Aufgabe bis jetzt nur eine Richtung
> beweisen können, für die andere habe ich leider keine
> Ideen.
>
> Also erstmal meine Halblösung:
>
> zeige: [mm]p\equiv\pm1(mod5)\Rightarrow(\bruch{5}{p})=1[/mm]
>
> Beweis: es ist [mm]5\equiv1(mod4) \Rightarrow (\bruch{5}{p})=(\bruch{p}{5})[/mm]
> und mit [mm]p\equiv\pm1(mod5) \Rightarrow (\bruch{p}{5})=(\bruch{\pm1}{5})[/mm]
>
> Es folgt mit dem 1. Ergänzungssatz:
> [mm](\bruch{5}{p})=(\bruch{p}{5})=(\bruch{\pm1}{5})=1[/mm] wzbw
>
> In die andere Beweisrichtung komme ich leider nicht ans
> Ziel.
Welche Möglichkeiten gibt es denn noch? Falls p nicht kongruent [mm] \pm1, [/mm] dann ist p [mm] \equiv \pm2, [/mm] und ich hoffe mal, daß dann folgt, was du haben willst.
(A [mm] \Rightarrow [/mm] B) [mm] \wedge (\neg [/mm] A [mm] \Rightarrow \neg [/mm] B) [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \gdw [/mm] B
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:06 Do 21.01.2010 | | Autor: | Vic_Burns |
Hi!
Danke, auf diese idee wär ich gar nicht gekommen. So funktioniert's aber.
LG Vic
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