5. Postulat der QM < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Ergibt die Messung der Größe A im Zustand |x> das Resultat [mm] a_n, [/mm] dann ist der Zustand des Systems nach der Messung gegeben durch
[mm] \frac{P(a_n)|x>}{}
[/mm]
d.h. durch die normierte Projektion auf den Eigenraum von A zum Eigenwert [mm] a_n [/mm] |
Hallo!
Ich habe nachgeprüft ob dieser Zustand normiert ist und bin zum Ergebnis gekommen das er so sogar eine Norm größer 1 besitzen würde.
Kann es sein das mein Prof im Skript so einen fatalen Fehler gemacht hat?
In anderen Skripten kommt im Nenner noch eine Wurzel hin, dann ist der Vektor auch normiert, in wieder anderen wird gesagt, der Folgezustand sei einfach der zugehörige Eigenvektor.
Allerdings gibt es ja im Körper der komplexen Zahlen mehrere Eigenvektoren mit Norm 1, sogar wenn der Eigenraum eindimensional ist. Ist dann dieses Postulat nicht etwas uneindeutig?
Würde mich freuen wenn mir jemand helfen würde etwas Licht ins Dunkel zu bringen...
Gruß
Rishi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Sa 21.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Rishi!
> Ergibt die Messung der Größe A im Zustand |x> das
> Resultat [mm]a_n,[/mm] dann ist der Zustand des Systems nach der
> Messung gegeben durch
>
> [mm]\frac{P(a_n)|x>}{}[/mm]
>
> d.h. durch die normierte Projektion auf den Eigenraum von A
> zum Eigenwert [mm]a_n[/mm]
> Hallo!
>
> Ich habe nachgeprüft ob dieser Zustand normiert ist und
> bin zum Ergebnis gekommen das er so sogar eine Norm
> größer 1 besitzen würde.
> Kann es sein das mein Prof im Skript so einen fatalen
> Fehler gemacht hat?
> In anderen Skripten kommt im Nenner noch eine Wurzel hin,
> dann ist der Vektor auch normiert, in wieder anderen wird
> gesagt, der Folgezustand sei einfach der zugehörige
> Eigenvektor.
Ja, da sollte im Nenner die Wurzel stehen, denn die Funktion [mm] $P(a_n)|x>$ [/mm] must auf 1 normiert werden, also durch die Norm von [mm] $P(a_n)|x>$ [/mm] geteilt werden. Diese Norm ist, da für einen Projektionsoperator immer [mm] $P^2=P$ [/mm] gilt:
[mm] \|P(a_n)|x>\| = \wurzel{} = \wurzel{} = \wurzel{} [/mm] .
> Allerdings gibt es ja im Körper der komplexen Zahlen
> mehrere Eigenvektoren mit Norm 1, sogar wenn der Eigenraum
> eindimensional ist. Ist dann dieses Postulat nicht etwas
> uneindeutig?
Nein. Eine einzelne Wellenfunktion [mm] $|\psi>$ [/mm] kannst du mit einer beliebigen komplexen Zahl [mm] $e^{i\phi}$ [/mm] vom Betrag 1 multiplizieren, ohne dass sich etwas ändert. Wenn du dann einen Erwartungswert eines Operators $O$ ausrechnest, fällt dieser Phasenfaktoren heraus, denn
[mm] = <\psi|e^{-i\phi}Oe^{i\phi}|\psi> = <\psi|O|\psi> [/mm] .
Das heisst aber nicht, dass du an beliebigen Stellen solche Faktoren [mm] $e^{i\phi}$ [/mm] einfügen darfst; relative Phasen zwischen Wellenfunktionen sind physikalisch relevant. Vergleiche den Erwartungswert eines Operators für die Wellenfunktionen [mm] $|\psi_1>+|\psi_2>$ [/mm] und [mm] $|e^{i\phi_1}\psi_1>+|e^{i\phi_2}\psi_2>$ [/mm] und du bekommst heraus, dass die Differenz [mm] $\phi_1-\phi_2$ [/mm] im Ergebnis auftaucht. Ein physikalisches Ergebnis darf aber nicht von Rechentricks abhängen, daher muss [mm] $\phi_1=\phi_2$ [/mm] sein. Das heisst wieder nicht anderes als dass du nur die gesamte Wellenfunktion mit einem solchen Faktor multiplizieren darfst, nicht ihre einzelnen Teile.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
