3xSechsen bei 21 Würfen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:43 Do 27.01.2011 | | Autor: | Vertax |
| Aufgabe | | Man berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens drei Sechsen zu Würfeln beim gleichzeitigen Wurf mit 21 Würfeln |
Hallo Community,
also Wahrscheinlichkeitsrechnung ist überhaupt nicht mein Ding und hoffe ihr könnt mir helfen das zu korregieren.
Also hier erstmal was ich fabriziert habe:
[mm] \vmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 21 & 21 & 21 & 21 & 21 & 21}
[/mm]
So ich kenne nicht die genaue Bezeichnung was hier hi und pi ist, weshalb ich es mal weggelassen habe um Verwirrungen zu vermeiden. Über aufklärung wäre ich sehr dankbar.
Also die Obere Zeile gibt die Anzahl Zahlen eines Würfels an und die zweite Zeile die Anzahl wie oft diese Vorkommen.
So habe das ganze dann so gerechnet
P(A) = [mm] 3*\bruch{Anzahl_aller_Sechsen}{Anzahl_aller_Zahlen_gesamt}
[/mm]
also
P(A) = [mm] 3*\bruch{21}{126} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
So ich habe bei einem Wurf die Wahrscheinlichkeit von 50% 3 Sechsen zu erhalten.
So habe nun mit dem Komplimentären Ergebnis weiter gerechnet was hier allerdings egal wäre, da 1-P = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] bleibt.
Das ganze mit einer Irtumswahrscheinlichkeit mit 0.001%
[mm] [Latex]\bruch{1}{2}^n [/mm] = [mm] 0.001[\Latex] [/mm] |ln
[mm] ln(\bruch{1}{2}^n) [/mm] = ln(0.001)
n * [mm] ln(\bruch{1}{2}) [/mm] = [mm] ln(0.001)[\Latex] [/mm] | [mm] :ln(\bruch{1}{2}
[/mm]
n = [mm] \bruch{ln(0.001)}{ln(0.5)}
[/mm]
n = 9,96
Ergebniss: Ich muss mindestens 10 mal Werfen um 3 Sechsen zu erhalten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Do 27.01.2011 | | Autor: | Walde |
Hi Vertax,
du bist total auf dem falschen Dampfer:
> Man berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens drei
> Sechsen zu Würfeln beim gleichzeitigen Wurf mit 21
> Würfeln
> Hallo Community,
> also Wahrscheinlichkeitsrechnung ist überhaupt nicht mein
> Ding und hoffe ihr könnt mir helfen das zu korregieren.
>
> Also hier erstmal was ich fabriziert habe:
>
> [mm]\vmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 21 & 21 & 21 & 21 & 21 & 21}[/mm]
>
> So ich kenne nicht die genaue Bezeichnung was hier hi und
> pi ist, weshalb ich es mal weggelassen habe um Verwirrungen
> zu vermeiden. Über aufklärung wäre ich sehr dankbar.
>
> Also die Obere Zeile gibt die Anzahl Zahlen eines Würfels
> an und die zweite Zeile die Anzahl wie oft diese
> Vorkommen.
>
> So habe das ganze dann so gerechnet
>
> P(A) =
> [mm]3*\bruch{Anzahl_aller_Sechsen}{Anzahl_aller_Zahlen_gesamt}[/mm]
>
> also
>
> P(A) = [mm]3*\bruch{21}{126}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> So ich habe bei einem Wurf die Wahrscheinlichkeit von 50% 3
> Sechsen zu erhalten.
>
> So habe nun mit dem Komplimentären Ergebnis weiter
> gerechnet was hier allerdings egal wäre, da 1-P =
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] bleibt.
> Das ganze mit einer Irtumswahrscheinlichkeit mit 0.001%
> [mm][Latex]\bruch{1}{2}^n[/mm] = [mm]0.001[\Latex][/mm] |ln
> [mm]ln(\bruch{1}{2}^n)[/mm] = ln(0.001)
> n * [mm]ln(\bruch{1}{2})[/mm] = [mm]ln(0.001)[\Latex][/mm] |
> [mm]:ln(\bruch{1}{2}[/mm]
> n = [mm]\bruch{ln(0.001)}{ln(0.5)}[/mm]
>
> n = 9,96
>
> Ergebniss: Ich muss mindestens 10 mal Werfen um 3 Sechsen
> zu erhalten
>
Was du dir überlegt hast, stimmt leider nicht und war auch überhaupt nicht gefragt. Ich zitiere " Man berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens drei Sechsen zu würfeln, beim gleichzeitigen Wurf mit 21 Würfeln."
Wenn die Zufallsvariable X:"Anzahl der Sechsen bei einem Wurf mit 21 Würfeln" definiert ist, dann ist X binomialverteilt mit [mm] p=\bruch{1}{6} [/mm] und n=21. Dabei setze ich voraus, dass die einzelnen Würfel ideal und unabhängig voneinander sind. Gesucht ist dann: [mm] $P(X\ge [/mm] 3)$. Kommst du dann allein weiter?
LG walde
Edit: Interpunktion u Rechtschreibung
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Do 27.01.2011 | | Autor: | Vertax |
Mhh ok , also war mein aller erster gedanke mit
21 mal gibt es die 6 bei insgesamt 126 Feldern nicht falsch.
So bist du doch auf das [mm] p=\bruch{1}{6} [/mm] gekommen oder?
So ich hatte ein Beispiel da ging es allerdings um ein Glücksrad, und die Wahrscheinlichkeit das die 2 Fällt. Daher habe ich mir gedacht kann ich das Problem auf einen Würfel Übertragen. Problem an der ganze Sache nur:
"mindestens drei Sechsen zu würfeln"
Wie ich das in meine Rechnung mit einbringe habe ich keine Ahnung. Über hilfe wäre ich dankbar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 Do 27.01.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin
> Wie ich das in meine Rechnung mit einbringe habe ich keine
> Ahnung. Über hilfe wäre ich dankbar
>
Walde (![[hand]](/images/smileys/hand.gif "[hand]") ) hat alles Wesentliche gesagt.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:46 Do 27.01.2011 | | Autor: | Vertax |
Das ändetr nichts an der Tatsache das es bei mir noch nicht klick gemacht hat.
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Hallo Vertax,
> Mhh ok , also war mein aller erster gedanke mit
>
> 21 mal gibt es die 6 bei insgesamt 126 Feldern nicht
> falsch.
> So bist du doch auf das [mm]p=\bruch{1}{6}[/mm] gekommen oder?
>
> So ich hatte ein Beispiel da ging es allerdings um ein
> Glücksrad, und die Wahrscheinlichkeit das die 2 Fällt.
> Daher habe ich mir gedacht kann ich das Problem auf einen
> Würfel Übertragen. Problem an der ganze Sache nur:
>
> "mindestens drei Sechsen zu würfeln"
>
> Wie ich das in meine Rechnung mit einbringe habe ich keine
> Ahnung. Über hilfe wäre ich dankbar
>
Betrachte das Gegenerreignis: höchsten 2 Sechsen zu würfeln
und wende die ![[]](/images/popup.gif) Binomialverteilung an.
Dann ist
[mm]P\left(\operatorname{mindestens \ 3 \ Sechsen}\right)=1-P\left(\operatorname{hoechstens \ 2 \ Sechsen}\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Sa 29.01.2011 | | Autor: | Vertax |
Ok laut Wikipedia müsste die Formel ja lauten:
[mm] F_X(x)=\operatorname P(X\le [/mm] x) = [mm] \sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor}\binom [/mm] nk [mm] p^k (1-p)^{n-k}.
[/mm]
p = [mm] \frac{1}{6} [/mm] und k = 126 und wenn n = Anzahl der Versuche ist, müsste n = 1 sein da ja die Wahrscheinlichkeit bei einem Wurf gesucht ist.
also eingesetzt: [mm]\sum_{k=0}^{\lfloor 3 \rfloor}(\frac{1}{6})^{126} (1-\frac{1}{6})^{1-126} = 2.83*10^{-88}[/mm]
Kann das stimmen?
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Hallo,
nein, das ist leider noch immer falsch! Das Ergebnis mit einer derartigen Zehnerpotenz ist auch fern von jeder Realität!
Du musst dich lösen von der 126, die hat mit der ganzen Aufgabe nichts zu tun, bzw. du brauchst sie nicht zur Lösung des Problems.
Die Formel, die du aus wikipedia hast, ist an sich richtig, du musst nur die richtigen Werte dafür verwenden. Also die Formel lautet
[mm] P(x\le k)=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*p^{k}*(1-p)^{n-k}
[/mm]
wobei [mm] \vektor{n \\ k}=\bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] und jetzt eben die richtigen Werte eingesetzt werden müssen!
Du musst über das Gegenereignis gehen, d.h. was du letztendlich berechnen musst ist [mm] P(x\le [/mm] 2), das bedeutet für obige Formel k=2. Außerdem ist n die Anzahl der Würfe, nicht die Anzahl der möglichen Ausgänge oder Sonstiges, hierfür muss also nicht etwa 21*6=126 berechnet werden, sondern n ist die Anzahl der Würfe, sprich n=21, da mit 21 Würfeln gewürfelt wird (es wäre übrigens dasselbe, wenn mit nur einem Würfel 21 mal hintereinander gewürfelt werden würde). Als Letztes brauchst du dann noch p. Das ist die Wahrscheinlichkeit, mit der das gesuchte Ergebnis bei einem der Würfe eintritt. Also die Wahrscheinlichkeit, dass bei EINEM Würfel die "6" fällt, und die ist, da es sich wohl um Laplace-Würfel handeln wird, gleich [mm] \bruch{1}{6}, [/mm] also [mm] p=\bruch{1}{6}.
[/mm]
Mit diesen Angaben müsstest du die gesuchte Wahrscheinlichkeit nun berechnen können! Vergiss nicht am Ende noch [mm] "1-P(x\le [/mm] 2)" zu berechnen!
Gruß,
MaTEEler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Sa 29.01.2011 | | Autor: | Vertax |
Danke schön ein Satz hat bei meinem Verständniss ziemlich geholfen. Nämlich das es keinen Unterschied macht ob ich mit 21 Würfeln auf einmal Würfle oder mit 1 Würfel 21x hintereinander. Damit hatte ich mich etwas schwer getan. Da bei mir im Kopf irgendwie gespeichert war, das mit 21 Würfeln einmal zu werfen und 3 Sechsen zu bekommen doch schwieriger sein muss als 21 mal hinter einander und 3 sechsen zu erhalten. ( Da man vermeindlich mehr mal würfelt)
So dann müsste die Wahrscheinlichkeit:
[mm] \bruch{21!}{2!(21-2)!} [/mm] = 210
P = 210 * [mm] \bruch{1}{6}^2*(1-\bruch{1}{6})^{21-2} [/mm] = 0,182588
1-P = 0,817411
PS:
Woran erkenne ich denn bei einer Aufgabe ob eine binominal verteilung vorliegt? Gibt es da einen Speziellen Trick?
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Hallo Vertax,
> Danke schön ein Satz hat bei meinem Verständniss ziemlich
> geholfen. Nämlich das es keinen Unterschied macht ob ich
> mit 21 Würfeln auf einmal Würfle oder mit 1 Würfel 21x
> hintereinander. Damit hatte ich mich etwas schwer getan. Da
> bei mir im Kopf irgendwie gespeichert war, das mit 21
> Würfeln einmal zu werfen und 3 Sechsen zu bekommen doch
> schwieriger sein muss als 21 mal hinter einander und 3
> sechsen zu erhalten. ( Da man vermeindlich mehr mal
> würfelt)
>
>
> So dann müsste die Wahrscheinlichkeit:
>
> [mm]\bruch{21!}{2!(21-2)!}[/mm] = 210
>
> P = 210 * [mm]\bruch{1}{6}^2*(1-\bruch{1}{6})^{21-2}[/mm] =
> 0,182588
Das ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich genau 2mal die 6
unter den 21 Würfen befindet.
Gesucht waraber die Wahrscheinlichkeit,daß sich höchstens 2 mal
die 6 unter den 21 Würfen befindet:
[mm] P(x\le [/mm] 2)=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)
> 1-P = 0,817411
>
> PS:
> Woran erkenne ich denn bei einer Aufgabe ob eine binominal
> verteilung vorliegt? Gibt es da einen Speziellen Trick?
Nun, wenn nur zwei Zustände auftreten können.
Gruss
MathePower
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:28 Sa 29.01.2011 | | Autor: | Vertax |
Ah ok und meine 2 Zustände sind in dem Fall:
a) Ich habe 3 Sechsen unter den 21
b) Ich habe keine 3 Sechsen unter den 21
Wieder etwas verstanden.
-----------------------------------------
>Das ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich genau 2mal die 6
>unter den 21 Würfen befindet.
P = 210 * $ [mm] \bruch{1}{6}^2\cdot{}(1-\bruch{1}{6})^{21-2} [/mm] $ =
> 0,182588
>Gesucht waraber die Wahrscheinlichkeit,daß sich höchstens >2 mal
>die 6 unter den 21 Würfen befindet:
Das ist doch dann das komplimentäre Ereignis 1-P das hatte ich doch geschrieben:
1-P = 0,817411
Oder Verstehe ich hier noch etwas nicht ?
PS:
Ich habe in meinen Unterlagen zur Binominalverteilung folgendes:
Urnenmodell mit zurücklegen:
geordnete Stichprobe:
Anzahl aller Möglichkeiten g = [mm] n^k [/mm] mit n = Anzahl Kugeln und K= Ziehungen.
nicht georndete Stichprobe:
g = [mm] \vektor{n+k-1 \\ n-1} [/mm] = [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] = [mm] \frac{a!}{(a-b)!*b!}
[/mm]
Urnenmodellohne zurücklegen:
geordnete Stichprobe:
g = n! n = Anzahl Kugeln , g Anzahl Möglichkeiten
nicht geordnete Stichprobe:
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \frac{n!}{k!*(n-k)!} [/mm] k = Ziehungen n = Anzahl Kugeln
Ok dazu habe ich eineweitere Frage:
Mein Modell ist ja Vergleichbar mit dem Urnenmodel mit zurücklegen.
Nur Versteheich nicht wieso ich eine nicht geordnete Stichprobe habe und wieso ich nach der Formel für bei g = [mm] \vektor{n+k-1 \\ n-1} [/mm] = [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] = [mm] \frac{a!}{(a-b)!*b!} [/mm] Nicht b = 21 und 1 = 2 herausbekomme
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Hallo Vertax,
> Ah ok und meine 2 Zustände sind in dem Fall:
> a) Ich habe 3 Sechsen unter den 21
> b) Ich habe keine 3 Sechsen unter den 21
>
> Wieder etwas verstanden.
Das ist so gemeint:
Wenn Du würfelst können zwei Zustände eintreten:
i) die gewürfelte Zahl ist keine 6
ii) die gewürfelte Zahl ist eine "6"
> -----------------------------------------
> >Das ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich genau 2mal die
> 6
> >unter den 21 Würfen befindet.
> P = 210 * [mm]\bruch{1}{6}^2\cdot{}(1-\bruch{1}{6})^{21-2}[/mm] =
> > 0,182588
>
> >Gesucht waraber die Wahrscheinlichkeit,daß sich
> höchstens >2 mal
> >die 6 unter den 21 Würfen befindet:
>
> Das ist doch dann das komplimentäre Ereignis 1-P das hatte
> ich doch geschrieben:
> 1-P = 0,817411
>
> Oder Verstehe ich hier noch etwas nicht
>
Gruss
MathePower
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