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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:18 Mo 31.01.2011 | | Autor: | m4rio |
| Aufgabe | bestimmen sie die eigenvektoren:
[mm] \(A= \vmat{ 5 & -2 & 0 \\ 1 & 5 & -1 \\ 0 & -2 & 5 } [/mm] |
hallo, habe zu der gleichen aufgabe hier die Eigenwerte [mm] \lambda1=\lambda2=\lambda3=5 [/mm] berechnet... nun sind die eigenvektoren dran!
da im skript nicht wirklich erklärt (es wird nur auf den gauss verwiesen), habe ich mir im netz eine "anleitung" besorgt... diese führt mich allerdings zu einem engpass...
[mm] \((A-\lambda*E)x=0
[/mm]
Ausgangsmatrix war gegeben durch
$ [mm] \(A=\pmat{ 5 & -2 & 0 \\ 1 & 5 & -1 \\ 0 & -2 & 5} [/mm] $
Eigenwert [mm] \lambda1,2,3=5
[/mm]
$ [mm] \(A=\pmat{ 5 & -2 & 0 \\ 1 & 5 & -1 \\ 0 & -2 & 5}-5*\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
--> $ [mm] \(A=\pmat{ 0 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & 0}*\vektor{x1 \\ x2 \\ x3}=0
[/mm]
-->
I [mm] \(2x2=0
[/mm]
II [mm] \(x1-x3=0
[/mm]
III [mm] \(-2x2=0
[/mm]
da [mm] \(III [/mm] keine zusätzlichen Infos bringt, kann man sie denk ich wegstreichen
I [mm] \(2x2=0
[/mm]
II [mm] \(x1-x3=0
[/mm]
hier gehts nur leider nicht weiter...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:18 Di 01.02.2011 | | Autor: | Walde |
Hi m4rio,
das heisst doch, dass für die Lösungen gelten muss [mm] x_2=0 [/mm] und [mm] x_1=x_3. [/mm] Da gibt es natürlich unendlich viele Möglichkeiten.
Eigenvektoren sind dann von der Gestalt [mm] \vektor{c \\ 0 \\ c}=c*\vektor{1 \\ 0 \\ 1}, c\not=0, [/mm] weil der Nullvektor per Definition kein Eigenvektor ist, soweit ich mich erinnere.
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:28 Di 01.02.2011 | | Autor: | m4rio |
hey,
genau das [mm] \(x=\lambda\vektor{1 \\ 0 \\ 1},\lambda\not=0 [/mm] sagt auch die musterlösung... die erklärung fehlte allerdings...
vielen dank!!
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