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hay leute, ich raffe es nicht, wie ich die eigenwerte einer 3x3 matrix bestimme, wenn in der ersten spallte weniger als 2 nullen enthalten sind :
beispiel :
[mm] \pmat{ -2 & 0 & 3 \\ 0 &-1 & 2 \\ 2 & 0 & -3}
[/mm]
so, nun fuege ich auf der diagonalen -y ein ...
[mm] \pmat{ -2-y & 0 & 3 \\ 0 &-1-y & 2 \\ 2 & 0 & -3-y}
[/mm]
nun stelle ich folgendes charackteristische polynom auf :
[mm] (-2-y)\left( ( -1-y)(-3-y) \right) [/mm] - (0-y) + 2 (-3*(-1-y))
ist das soweit sinnvoll ??? frage ich mich, wie komme ich nun auf die nullstellen
Eigenwerte:
{-5; -1; 0}
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt
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Hallo Christian!
> hay leute, ich raffe es nicht, wie ich die eigenwerte einer
> 3x3 matrix bestimme, wenn in der ersten spallte weniger als
> 2 nullen enthalten sind :
Was hat das denn mit der Anzahl an Nullen zu tun?
> beispiel :
>
>
> [mm]\pmat{ -2 & 0 & 3 \\ 0 &-1 & 2 \\ 2 & 0 & -3}[/mm]
>
> so, nun fuege ich auf der diagonalen -y ein ...
>
>
> [mm]\pmat{ -2-y & 0 & 3 \\ 0 &-1-y & 2 \\ 2 & 0 & -3-y}[/mm]
>
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> nun stelle ich folgendes charackteristische polynom auf :
>
>
> [mm](-2-y)\left( ( -1-y)(-3-y) \right)[/mm] - (0-y) + 2 (-3*(-1-y))
Wie kommst du denn auf den Term (0-y)? Den sehe ich irgendwie nicht. Dir ist aber die sogenannte "Gartenzaunregel" für Determinanten bekannt, oder? Also ich erhalte da:
(-2-y)(-1-y)(-3-y)-(3(-1-y)*2)
das lässt sich nun so weit vereinfachen, dass du ein Polynom vom Grad 3 erhältst, und von diesem Polynom musst du nun nur noch die Nullstellen berechnen - z. B. mit Raten und dann Polynomdivision. Alles klar jetzt? Oder immer noch nicht?
> ist das soweit sinnvoll ??? frage ich mich, wie komme ich
> nun auf die nullstellen
> Eigenwerte:
> {-5; -1; 0}
Also, was heißt sinnvoll? Ich habe gelernt, dass man das so macht - einer andere Methode kenne ich nicht, demnach ist es wohl sinnvoll so. 
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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> >
> > nun stelle ich folgendes charackteristische polynom auf :
> >
> >
> > [mm](-2-y)\left( ( -1-y)(-3-y) \right)[/mm] - (0-y) + 2 (-3*(-1-y))
>
> Wie kommst du denn auf den Term (0-y)? Den sehe ich
> irgendwie nicht. Dir ist aber die sogenannte
> "Gartenzaunregel" für Determinanten bekannt, oder? Also ich
> erhalte da:
> (-2-y)(-1-y)(-3-y)-(3(-1-y)*2)
aha, also, wie kommst du nun auf dieses polynom ? hast du die matrix irgendwie umgestellt ?
das polynom oben habe ich mir zurechtgebastelt,indem ich immer ein element aus der ersten spalte genommen habe, und dann mit der determinante der verbleibenden (2x2) matrix multipliziert habe( untrer ewglassen der ersten spalte und jten zeile ... )
, wo steht denn was ueber die gartenzaunregel, bzw. kannst du mior kurz sagen was du da wie zusammenbrätst ???
hehe, wenn ich nach "gartenzaunregel fuer determinanten" suche, findet der goolge nix, und verweist mich auf :
"gartenzwerge fuer determinanten "
das hilft mir aber nit weiter ;)
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gartenzaunregel hab ich zwar auch noch nicht gehört, aber gemeint ist sicherlich die entwicklung nach i-ter spalte oder zeile. diese ist nichts anderes als die leibniz-formel mit geregelter anordnung der summanden.
es sieht so aus als hättest du nach 1 spalte entwickelt aber dein mittlerer summand ist da falsch. ich werd hier mal eine 3x3 matrix formal nach der 1. spalte entwickeln, dann sollte klar sein wie das geht. wenn du es genau wissen willst -> buch (z.b. fischer: lineare algebra)
a, b, c, d, e, f, g, h, i [mm] \in [/mm] K
det [mm] \pmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i }=
[/mm]
a*det [mm] \pmat{ e & f \\ h & i } [/mm] - d*det [mm] \pmat{ b & c \\ h & i } [/mm] + g*det [mm] \pmat{ b & c \\ e & f }
[/mm]
alles klar?
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> gartenzaunregel hab ich zwar auch noch nicht gehört, aber
> gemeint ist sicherlich die entwicklung nach i-ter spalte
> oder zeile. diese ist nichts anderes als die leibniz-formel
> mit geregelter anordnung der summanden.
> es sieht so aus als hättest du nach 1 spalte entwickelt
> aber dein mittlerer summand ist da falsch. ich werd hier
> mal eine 3x3 matrix formal nach der 1. spalte entwickeln,
> dann sollte klar sein wie das geht. wenn du es genau wissen
> willst -> buch (z.b. fischer: lineare algebra)
> a, b, c, d, e, f, g, h, i [mm]\in[/mm] K
> det [mm]\pmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i }=[/mm]
> a*det
> [mm]\pmat{ e & f \\ h & i }[/mm] - d*det [mm]\pmat{ b & c \\ h & i }[/mm] +
> g*det [mm]\pmat{ b & c \\ e & f }[/mm]
> alles klar?
ja, danke nochmal, ich habe jetzt meine fehler ... ;)
fuer die berechnung der eigenwertte muss es dann sein :
[mm] (a-y)*\det \pmat{ (e-y) & f \\ h & i-y }[/mm] - d*det [mm]\pmat{ b & c \\ h & i-y }[/mm] + g*det [mm]\pmat{ b & c \\ e-y & f }[/mm]
daran schliesst sich dann meine frage zu den nullstellen an, also, 'raten' ist fuer mich nicht praktikabel, wie kann ich 'algorithmisch' nullstellen bestimmen, solange in dem polynom 3ten grades keine konstante vorkommt, kann man y ausklammern, hat somit die 0 als nullstelle, und kann dann bequem mit der pq formel die restlichen nullstellen bestimmen, ist es sinnvoll, die nullstellen der einzelnen summanden zu bestimmen ? oder wie kann man aus einem polynom 3ten grades bequem alle (maximal ) 3 nullstellen rausziehen ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:32 Fr 25.03.2005 | | Autor: | calabi-yau |
hehe bequem hast du es nur mit polynomen 2. grades. es gibt auch 'formeln' für den 3. und 4. grad. die sind aber ziemlich komplex und gegenstand der algebra (nicht linear). für den 5. grad gibt es sowas gar nicht mehr und die nullstellen lassen sich in den meisten fällen nur numerisch finden.
du hast also noch gar keine andere wahl (noch) eine nullstelle zu raten und die anderen zwei durch polynomdivision. z.B.
[mm] ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
ich rate die nullstelle y, dann kann ich das polynom in die form
[mm] (x-y)(ex^2+fx+g)
[/mm]
bringen und
[mm] (ex^2+fx+g)=(ax^3+bx^2+cx+d)/(x-y)
[/mm]
mal ganz plump aufgeschrieben.
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Hallo nochmal!
> aha, also, wie kommst du nun auf dieses polynom ? hast du
> die matrix irgendwie umgestellt ?
> das polynom oben habe ich mir zurechtgebastelt,indem ich
> immer ein element aus der ersten spalte genommen habe, und
> dann mit der determinante der verbleibenden (2x2) matrix
> multipliziert habe( untrer ewglassen der ersten spalte und
> jten zeile ... )
> , wo steht denn was ueber die gartenzaunregel, bzw. kannst
> du mior kurz sagen was du da wie zusammenbrätst ???
Also, bei einer 2 [mm] \times [/mm] 2-Matrix berechnest du die Determinante hoffentlich anders, als bei dieser 3 [mm] \times [/mm] 3-Matrix hier. Und bei 3 [mm] \times [/mm] 3-Matrizen geht es eben auch anders, nämlich nach der "Gartenzaunregel". Ich selbst habe das in der Schule nicht gelernt, aber eine Freundin aus dem Parallelkurs hatte mir das mal kurz gezeigt, und seitdem weiß ich das - in der Uni wurde uns dazu nur noch gesagt, dass wir das auf keinen Fall bei 4 [mm] \times [/mm] 4-Matrizen so machen sollen, da diese Regel nämlich nur für 3 [mm] \times [/mm] 3-Matrizen gilt.
Nun aber zu dieser mysteriösen Gartenzaunregel:
Eigentlich heißt sie Regel von Sarrus oder Sarrus'sche Regel, und z. B. ![[]](/images/popup.gif) hier findest du, wie man sie benutzt. Damit wärst du dann direkt auf mein Polynom gekommen.
Würd ich mir mal durchlesen - ist ziemlich praktisch für 3 [mm] \times [/mm] 3-Matrizen. 
> hehe, wenn ich nach "gartenzaunregel fuer determinanten"
> suche, findet der goolge nix, und verweist mich auf :
> "gartenzwerge fuer determinanten "
> das hilft mir aber nit weiter ;)
Das ist wohl wahr. Aber guck mal - ich hatte sogar einen Treffer: Gartenzaunregel...
Bist du denn jetzt klargekommen? Auch mit den Nullstellen?
Viele Grüße
Bastiane
![[hand]](/images/smileys/hand.gif "[hand]")
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jau, das war ja ein einfaches polynom, mit 0 als nullstelle, dann war nur noch das polynom vom grad 2 da, und jetzt habe ich es auch hinbekommen ... ;)
danke
> Bist du denn jetzt klargekommen? Auch mit den Nullstellen?
>
> Viele Grüße
> Bastiane
>
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> Hallo Christian!
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> > hay leute, ich raffe es nicht, wie ich die eigenwerte einer
> > 3x3 matrix bestimme, wenn in der ersten spallte weniger als
> > 2 nullen enthalten sind :
>
> Was hat das denn mit der Anzahl an Nullen zu tun?
>
naja, wenn in der ersten spalte nur eine von null verschiedene zahl ist, am besten links oben, so gibt es nur das charackteristische polynom fuer ein element, und mann muss nichts weiter addieren ...
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aber ich habs jetzt auch, war naturlich quark mit (0-y) ich habe in meinem wahn einfach ueberall minus y hingemacht, hehe ..
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