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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - 3 Vektoren lin. abh. machen
3 Vektoren lin. abh. machen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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3 Vektoren lin. abh. machen: Frage zur Vorgehensweise
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:09 Mi 16.05.2012
Autor: Jack159

Aufgabe
Gegeben sei folgende Menge von Vektoren:

M={ [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 1}, \vektor{1 \\ 0 \\ a} [/mm] }

Bestimmen Sie alle Zahlen für a so, dass die Vektoren linear abhängig werden.

Hallo,

Offensichtlich ist schonmal a=2 eine Lösung. Denn dann erhält man

M={ [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 1}, \vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm] }

Und man kann den ersten Vektor durch Linearkombination des zweiten und dritten Vektors ausdrücken mit 1 [mm] *\vektor{0 \\ 2 \\ 1}+1* \vektor{1 \\ 0 \\ 2}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm]

Die Lösung a=2 habe ich aber nur durch bloßes hingucken "erraten". Rechnerisch habe ich zwar gezeigt, dass a=2 eine Lösung ist, aber woher weiß ich, dass a=2 die einzige Lösung ist? Bzw. wie würde ich a bestimmen können, wenn ich das jetzt nicht durch bloßes hingucken gewusst hätte? Dann müsste ich a ja irgendwie rechnerisch bestimmen können, aber wie?

Mein erster Gedanke wäre jetzt ein Gleichungssystem aufzustellen. Dann hätten wir 3 Gleichungen mit jedoch 4 Unbekannten.....

        
Bezug
3 Vektoren lin. abh. machen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:27 Mi 16.05.2012
Autor: M.Rex

Hallo



Für eine Linearkombination der drei Vektoren muss es Parameter [mm] \lambda, \mu [/mm] un [mm] \nu [/mm] geben, so dass.

[mm] \lambda\cdot\vektor{1\\ 2\\ 3}+\mu\cdot\vektor{0\\ 2\\ 1}+\nu\cdot\vektor{1\\ 0\\ a}=\vec{0} [/mm]

Ich habe bewisst griechische Buchstaben für die Parameter gewählt, da diese eine andere Rolle als das a spielen.

Sicherlich ist [mm] \lambda=\mu=\nu=0 [/mm] eine Lösung, aber evtl nicht die einzige.

Stellen wir mal das GLS auf.

Damit bekommst du:

[mm] \begin{vmatrix}\lambda+\nu=0\\ 2\lambda+2\mu=0\\ 3\lambda+\mu+a\cdot\nu=0\end{vmatrix} [/mm]

[mm] \stackrel{0,5\cdot II}{\Leftrightarrow}\begin{vmatrix}\lambda+\nu=0\\ \lambda+\mu=0\\ 3\lambda+\mu+a\cdot\nu=0\end{vmatrix} [/mm]

[mm]\stackrel{3\cdotI-III;I-II}{\Leftrightarrow}\begin{vmatrix}\lambda+\nu=0\\ -\mu+\nu=0\\ -\mu+(3-a)\cdot\nu=0\end{vmatrix} [/mm]

[mm] $\stackrel{II-III}{\Leftrightarrow}\begin{vmatrix}\lambda+\nu=0\\ -\mu+\nu=0\\ (2+a)\cdot\nu=0\end{vmatrix} [/mm] $

Jetzt haben wir den eigentlich interessanten Fall in der letzten Gleichung stehen.
Die Gleichung $ [mm] (2+a)\cdot\nu=0 [/mm] $ ist fur a=2 unabhängig von [mm] \nu [/mm] erfüllt, also ist a=2 schonmal ein Sonderfall.
Für [mm] a\ne2 [/mm] folgt aus $ [mm] (2+a)\cdot\nu=0 [/mm] $, dass [mm] \nu=0. [/mm] Damit gilt dann (Gleichung 2) auch [mm] \mu=0 [/mm] und damit nach Gleichung 1 auch [mm] \lambda=0 [/mm]

Marius



Bezug
        
Bezug
3 Vektoren lin. abh. machen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:40 Mi 16.05.2012
Autor: fred97

Stelle die 3 Vektoren in eine 3x3 - Matrix M

Die 3 Voktoren sind l.a. [mm] \gdw [/mm] det(M)=0

FRED

Bezug
        
Bezug
3 Vektoren lin. abh. machen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:57 Mi 16.05.2012
Autor: Jack159

Ok, danke euch beiden ;)

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