3) VR der Polynome < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:55 Mo 22.03.2010 | | Autor: | LariC |
Hallo,
schreibe morgen meine Lina- Klasur und habe gestern nocheinmal eine klausur zur Übung der letzten Jahre gerechnet. Bei einigen Aufgaben bin ich mir aber nicht ganz sicher und wollte überprüfen lassen, ob die soweit richtig sind - ansonsten würde ich ja die gleichen Fehler in der klausur machen. Außerdem komme ich bei der einen Aufgabe nicht so richtig Ahnung - könnte mir dazu bitte jemand mein Fragen erklären!!?? - Vielen Dank im voraus...
3.) Es sei V der IR_VR der Polynomfiunktion p: IR -> IR vom Grad $ [mm] \le [/mm] $ 2 mit der basis B=(p0, p1, p2) wobei pi(t)= t^î. Zu c $ [mm] \in [/mm] $ IR wird eine Abb. $ [mm] F_c [/mm] $ : V -> V definiert durch
$ [mm] F_c [/mm] $ (p)(t)=p(t+c)
a.) Zeigen Sie, dass $ [mm] F_c [/mm] $ linear ist und Bestimmen Sie $ [mm] A_c=B [/mm] $ M B
$ [mm] (F_c) [/mm] $
b.) Ist $ [mm] A_c [/mm] $ invertierbar? falls ja, betsimmen Sie die inverse Matrix.
Lösung: Naja - ich habe hier einiges Verscuhet, aber bon kaum zu ergebnissen gekommen.
Mein erstes problem besteht darin, dass ich nicht genau verstehe, von welchesr variavlen die Abb nun abhängt - also von c vielleicht?
So und wenn ich jetzt linaerität teste, wüde ich immer sagen sie funktioniert nicht , wegen
$ [mm] F_c+d(p)(t)=p(t+(c+d)) [/mm] $ aber das ist ungleich $ [mm] F_c [/mm] $ + $ [mm] F_d=p(t+c)+ [/mm] $ p(t+d)
Aber laut Aufgabenstellung ist es ja liner ???
Die basis kann ich grad noch bestimmen, die ist $ [mm] B=(1,t,t^2) [/mm] $ - Und jetzt komme ich nicht weiter?!
Kann mir das bitte jemand erlklären und verscuhen klar zu machen? Oder mir gute Tipps geben?
So das wars ich hoffe ihr könnt mir helfen. Vilen Dank im voaraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> 3.) Es sei V der IR_VR der Polynomfiunktion p: IR -> IR vom
> Grad [mm]\le[/mm] 2 mit der basis B=(p0, p1, p2) wobei pi(t)= t^î.
> Zu c [mm]\in[/mm] IR wird eine Abb. [mm]F_c[/mm] : V -> V definiert durch
> [mm]F_c[/mm] (p)(t)=p(t+c)
> a.) Zeigen Sie, dass [mm]F_c[/mm] linear ist und Bestimmen Sie
> [mm]A_c=B[/mm] M B
> [mm](F_c)[/mm]
> b.) Ist [mm]A_c[/mm] invertierbar? falls ja, betsimmen Sie die
> inverse Matrix.
Hallo,
wir haben hier also den VR der Polynomfunktionen vom Grad 2 mit der Basis [mm] B=(p_0, p_1, p_2), p_i(t):=t^i.
[/mm]
Die Funktion [mm] F_c [/mm] bildet Polynomfunktionen auf Polynomfunktionen ab.
Jeder Polynomfunktion p aus V wird vermöge [mm] F_c [/mm] eine Polynomfunktion [mm] q_p [/mm] zugeordnet, und zwar in dieser Weise:
[mm] F_c(p)=q_p [/mm] mit [mm] q_p(t):=p(t+c) [/mm] für alle [mm] t\in \IR.
[/mm]
Um die Linearität zu prüfen, müßtest Du also schauen, o für Polynomfunktionen [mm] b_1, b_2 [/mm] gilt [mm] F_c(b_1+b_1)=F_c(b_1)+F_c(b_2) [/mm] ,
und für [mm] \lambda \in \IR [/mm] muß gelten [mm] F_c(\lambda p)=\lambda F_c(p).
[/mm]
Um die Darstellungsmatrix [mm] A_c [/mm] aufzustellen, brauchst Du die Bilder der Basisvektoren.
Ich mache das mal für den dritten Basisvektor vor:
[mm] F_c(p_2)= q_{p_2} [/mm] mit [mm] q_{p_2}(t)=p_2(t+c)=(t+c)^2= t^2+2ct+c^2= p_2(t) +2cp_1(t) +c^2p_0(t).
[/mm]
Also ist [mm] F_c(p_2)= p_2 +2cp_1 +c^2p_0=\vektor{c^2\\2c\\1}_{(B)}, [/mm] und dies ist der Eintrag, der in die dritte Spalte von [mm] A_c [/mm] gehört, nämlich das Bild von [mm] p_2 [/mm] in Koordinaten bzgl B.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Mo 22.03.2010 | | Autor: | LariC |
Ok - dann verstehe ich die Abbildung jetzt schonmal :)
Linerität sieht dann so aus:
1.) [mm] F_c(b1+b2)=(b1+b2)(t+c)=b1*(t+c)+b2*(t+c)=F_c(b1)+F_c(b2)
[/mm]
[mm] 2.)F_c(\lambda p)=\lambda [/mm] p *(t+c) = [mm] \lambda [/mm] * [mm] F_c(p)
[/mm]
Das ging dann ja sogar recht flott, aber bei der darstellenden matrix wird es dann doch etwas komplizierter, wie kommst du hierauf?:
> [mm]F_c(p_2)= q_{p_2}[/mm] mit [mm]q_{p_2}(t)=
[red] p_2(t+c)=(t+c)^2 [/red]
= t^2+2ct+c^2= p_2(t) +2cp_1(t) +c^2p_0(t).[/mm]
p2 wäre doch [mm] t^2 [/mm] und nicht t+c, wie kommst du dann darauf, dass es [mm] (t+c)^2 [/mm] ist?
Vielen Dank und gruß Lari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:06 Mo 22.03.2010 | | Autor: | Micha |
Hallo LariC!
> Ok - dann verstehe ich die Abbildung jetzt schonmal :)
> Linerität sieht dann so aus:
>
> 1.)
> [mm]F_c(b1+b2)=(b1+b2)(t+c)=b1*(t+c)+b2*(t+c)=F_c(b1)+F_c(b2)[/mm]
> [mm]2.)F_c(\lambda p)=\lambda[/mm] p *(t+c) = [mm]\lambda[/mm] * [mm]F_c(p)[/mm]
>
> Das ging dann ja sogar recht flott, aber bei der
> darstellenden matrix wird es dann doch etwas komplizierter,
> wie kommst du hierauf?:
> > [mm]F_c(p_2)= q_{p_2}[/mm] mit [mm]q_{p_2}(t)=
[red]p_2(t+c)=(t+c)^2[/red]
= t^2+2ct+c^2= p_2(t) +2cp_1(t) +c^2p_0(t).[/mm]
>
Ich glaube, dass ging etwas zu flott. Die Sterne der Multiplikation weisen für mich darauf hin, dass noch nicht ganz klar ist, was [mm] $F_c$ [/mm] eigentlich tut. Es ist eine Abbildung, die ein Polynom [mm] $\IR[/mm] [t][mm] ^{\le 2}$ [/mm]
auf ein Polynom [mm] $\IR[/mm] [t][mm] ^{\le 2}$ [/mm] abbildet und dabei die Variable t durch den Ausdruck t+c ersetzt. Wenn also das Polynom
p(t) = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 \cdot [/mm] t + [mm] a_2 \cdot t^2
[/mm]
ist, dann ist
[mm] F_c(p(t)) [/mm] = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 \cdot [/mm] (t+c) + [mm] a_2 \cdot (t+c)^2
[/mm]
Wenn man das nun ausmultipliziert, wie Angela es getan hat, kann man evtl. Koeffizienten zusammenfassen und dann die Darstellungsmatrix ermitteln.
Wie zeigt man nun, dass [mm] $F_c$ [/mm] linear ist?
Gruß Micha 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Mo 22.03.2010 | | Autor: | LariC |
Mmmhh...eglich gesagt fühle ich mich mit dieser Aufgabe dann ziemlich überfordert :(
Also:
Ich muss ja für die Linaerität zuersteinmal
[mm] F_c(b1+b2)=F_c(b1)+F_c(b2) [/mm] zeigen, wenn das vorher falsch war, dann würde ich es vielleicht jetzt so versuchen:
[mm] F_c(b1+b2)=((t+c)+(t+c)^2)*(t+c)=(t+c)*(t+c) [/mm] + [mm] (t+c)^2*(t+c) [/mm] = [mm] F_c(b1)+F_c(b2)
[/mm]
Aber ich bin mir da wie gesagt sehr unsicher..
Wäöre das denn wohl soweit ok?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Mo 22.03.2010 | | Autor: | Micha |
Hallo nochmal!
> Mmmhh...eglich gesagt fühle ich mich mit dieser Aufgabe
> dann ziemlich überfordert :(
>
> Also:
> Ich muss ja für die Linaerität zuersteinmal
> [mm]F_c(b1+b2)=F_c(b1)+F_c(b2)[/mm] zeigen, wenn das vorher falsch
> war, dann würde ich es vielleicht jetzt so versuchen:
>
> [mm]F_c(b1+b2)=((t+c)+(t+c)^2)*(t+c)=(t+c)*(t+c)[/mm] +
> [mm](t+c)^2*(t+c)[/mm] = [mm]F_c(b1)+F_c(b2)[/mm]
>
> Aber ich bin mir da wie gesagt sehr unsicher..
> Wäöre das denn wohl soweit ok?
>
Ich verstehe ehrlich gesagt nicht, was du da genau rechnest. Bezeichnen wir mal die Polynome g und h wie folgt:
g(t) = [mm] a_0+a_1\cdot t+a_2\cdot t^2
[/mm]
und
h(t) = [mm] b_0 +b_1\cdot t+b_2\cdot t^2.
[/mm]
Wir wollen zeigen [mm] F_c(g(t)+h(t)) [/mm] = [mm] F_c(g(t))+F_c(h(t)).
[/mm]
Nun setzen wir ein:
[mm] F_c(g(t)+h(t)) [/mm] = [mm] F_c(a_0+a_1 \cdot t+a_2 \cdot t^2+b_0+b_1 \cdot t+b_2 \cdot t^2) =a_0+a_1 \cdot (t+c)+a_2 \cdot (t+c)^2+b_0+b_1 \cdot (t+c)+b_2 \cdot (t+c)^2= F_c(g(t)+F_c(h(t))
[/mm]
Die skalare Multiplikation lass ich jetzt mal zur Übung.
Gruß Micha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Mo 22.03.2010 | | Autor: | LariC |
Ja gut - so ist es nantürlich weder alles einleuchtend und schön - aber ich bin wieder nicht von slebst drauf gekommen. ich habe dieses Abbildung einfach nicht von selbst verstanden, weil ich nicht kapiert hatte, dass es sich bei dem p tatsächlich um ein Polynom mit einem sowohl absoluten, linaren als auch einem quadr. teil handelt - ich bin immer einfach von einem Polynom p oder halt b ausgegangen. Wo steht das denn in der Definition - ist das mit Gtrad kleiner gleich 2 gemeint?
Aber wenn dann hätte es doch auch nur ein absluttes Glied a0 sein können - ach, aber a2 könnte ja immer noch >Null sein und damit kleiner als 2 - gutz macht sinnn habe es gerade kapiert!
Darüber schreben und Fragen formlieren bringts auch manchmal - ok - also hietr dann nochmal die SM:
[mm] F_(\lambda g(t))=F(\lambda [/mm] a0 + [mm] \lambda [/mm] a1*t + [mm] \lambda [/mm] a2* [mm] t^2 [/mm] = [mm] \lambda [/mm] a0 + [mm] \lambda [/mm] a1*(t+c) + [mm] \lambda [/mm] a2* [mm] (t+c)^2
[/mm]
= [mm] \lambda*(a0+a1(t+c)+a2(t+c)^2)
[/mm]
[mm] =\lambda F_c(g(t)
[/mm]
Gut und jetzt werde ich nocheinmal die darstellende matrize ausprobieren...
Danke für die gute Hilfe euch hbeiden bisher^^
(...Hoffentlich verstehe ich die Abb. morgen :/ ...)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Mo 22.03.2010 | | Autor: | LariC |
So - ich glaube dann habe ich die Darstellende matrize jetzt und zwar:
[mm] A_c=\pmat{ 1 & c & c^2 \\ 0 & 1 & 2c \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Hoffe das ist jetzt richtig - aber von alleine wäre ich auf diese Lösung leider nie gekommen.
und zu b.) wäre [mm] a_c [/mm] dann invertierbar zwar sehe [mm] A_c [/mm] dann so aus:
[mm] A_c^-1=\pmat{ 1 & -c & c^2 \\ 0 & 1 & -2c \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Ist das denn überpaupt korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Mo 22.03.2010 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> So - ich glaube dann habe ich die Darstellende matrize
> jetzt und zwar:
>
> [mm]A_c=\pmat{ 1 & c & c^2 \\ 0 & 1 & 2c \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> Hoffe das ist jetzt richtig - aber von alleine wäre ich
> auf diese Lösung leider nie gekommen.
>
>
>
> und zu b.) wäre [mm]a_c[/mm] dann invertierbar zwar sehe [mm]A_c[/mm] dann
> so aus:
>
> [mm]A_c^-1=\pmat{ 1 & -c & c^2 \\ 0 & 1 & -2c \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> Ist das denn überpaupt korrekt?
Ja das schaut gut aus!
Gruß Micha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Mo 22.03.2010 | | Autor: | Micha |
Auch das schaut gut aus!
LG Micha
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