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| Aufgabe | Man bestimme die allgemeine Lösung des Gleichungssystems
A * x = b
A= [mm] \pmat{ 2 & 3 & -4 & 3 \\ 2 & 5 & -6 & 9 \\ -2 & 2 & -1 & 3}
[/mm]
b= [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 1} [/mm] |
Hallo,
ich bräuchte einen Tipp ob ich das System so richtig gelöste habe, bzw. wie der richtige Weg dazu wäre.
Ich habe die Matrix auf folgene Zeilen-Stufen-Form gebracht:
(A,b)= [mm] \pmat{ 2 & 3 & -4 & 3 & | & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 3 & | & 2 \\ -2 & 2 & -1 & 3 & | & 17}
[/mm]
dabei ist rang(A) = rang(A,b) = Zeilenanzahl , damit müsste das Gleichungssystem eigentlich eindeutig lösbar sein. Ich habe dann weiter eliminiert bis in jeder Zeile ein x und ein [mm] x_{4 überblieb} [/mm] :
(A,b)= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & \bruch{24}{14} & | & \bruch{-2}{14} \\ 0 & 1 & 0 & \bruch{39}{7} & | & \bruch{20}{7} \\ 0 & 0 & 1 & \bruch{30}{7} & | & \bruch{17}{7}}
[/mm]
damit könnte ich laut Wikipedia![[]](/images/popup.gif) [1] [mm] x_{4} [/mm] mit k [mm] \in \IR [/mm] ersetzen um käme auf folgende Lösung:
[mm] \pmat{ \bruch{-12}{7} * k - \bruch{1}{7} \\ \bruch{20}{7} - \bruch{39}{7} * k \\ \bruch{17}{7} - \bruch{30}{7} * k}
[/mm]
Allerdings weiß ich nicht ob ich damit auf dem richtigen Weg bin das Beispiel zu lösen. Sprich ob ich abgesehen von etwaigen Rechenfehlern mit der Vorgehensweise das Beispiel so lösen kann wie ichs gemacht habe.
mfg tom
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Hallo Tom,
> Man bestimme die allgemeine Lösung des Gleichungssystems
>
> A * x = b
>
> A= [mm]\pmat{ 2 & 3 & -4 & 3 \\ 2 & 5 & -6 & 9 \\ -2 & 2 & -1 & 3}[/mm]
>
> b= [mm]\vektor{0 \\ 2 \\ 1}[/mm]
> Hallo,
>
> ich bräuchte einen Tipp ob ich das System so richtig
> gelöste habe, bzw. wie der richtige Weg dazu wäre.
> Ich habe die Matrix auf folgene Zeilen-Stufen-Form
> gebracht:
>
> $(A,b)= [mm] \pmat{ 2 & 3 & -4 & 3 & | & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 3 & | & 2 \\ -2 & 2 & -1 & 3 & | & \red{17}}$
[/mm]
Erste Unklarheit, ist das nun $17$ oder $1$ wie oben im Vektor b steht?
Zweite Unklarheit: Wie kommst du auf die 2.Zeile?
Ich erhalte da (nur die 2.Zeile) [mm] $(0,1,-1,3\mid [/mm] 1)$
>
> dabei ist rang(A) = rang(A,b) = Zeilenanzahl , damit müsste
> das Gleichungssystem eigentlich eindeutig lösbar sein. Ich
> habe dann weiter eliminiert bis in jeder Zeile ein x und
> ein [mm]x_{4 überblieb}[/mm] :
>
> (A,b)= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & \bruch{24}{14} & | & \bruch{-2}{14} \\ 0 & 1 & 0 & \bruch{39}{7} & | & \bruch{20}{7} \\ 0 & 0 & 1 & \bruch{30}{7} & | & \bruch{17}{7}}[/mm]
>
> damit könnte ich laut
> Wikipedia[1]
> [mm]x_{4}[/mm] mit k [mm]\in \IR[/mm] ersetzen um käme auf folgende Lösung:
>
> [mm]\pmat{ \bruch{-12}{7} * k - \bruch{1}{7} \\ \bruch{20}{7} - \bruch{39}{7} * k \\ \bruch{17}{7} - \bruch{30}{7} * k}[/mm]
>
> Allerdings weiß ich nicht ob ich damit auf dem richtigen
> Weg bin das Beispiel zu lösen. Sprich ob ich abgesehen von
> etwaigen Rechenfehlern mit der Vorgehensweise das Beispiel
> so lösen kann wie ichs gemacht habe.
Da scheinen mit Rechen- und/oder Abschreibefehler drinzustecken, rechne bitte nochmal nach
>
> mfg tom
>
LG
schachuzipus
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Hallo, hab jetzt das Beispiel nochmals gerechnet.
dabei bin ich Auf folgende Zeilen-Stufen-Form gekommen:
[mm] \pmat{ 2 & 3 & -4 & 3 & | & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 3 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -9 & | & -4 }
[/mm]
daraus habe ich noch [mm] x_{2} [/mm] aus der ersten Zeile eleminiert und die Faktoren für [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] auf 1 gebracht. Danach hab ich alles wieder als Gleichung mit x angeschrieben und bin auf folgende Lösung gekommen (indem ich [mm] x_{3} [/mm] = k [mm] \in \IR [/mm] gesetz habe.)
[mm] \vektor{ \bruch{13}{6} \\ \bruch{7}{3} \\ \bruch{4}{9} } [/mm] + k * [mm] \vektor{ \bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0 } [/mm] , k [mm] \in \IR
[/mm]
Und jetzt wollte ich wissen ob das die richtige Methode ist, bei solch einem Gleichungssystem die allgemeine Lösung zu bestimmen.
Danke im voraus für die Hilfe,
mfg tom
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Hallo Tom,
> Hallo, hab jetzt das Beispiel nochmals gerechnet.
>
> dabei bin ich Auf folgende Zeilen-Stufen-Form gekommen:
>
> [mm]\pmat{ 2 & 3 & -4 & 3 & | & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 3 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -9 & | & -4 }[/mm]
>
> daraus habe ich noch [mm]x_{2}[/mm] aus der ersten Zeile eleminiert
> und die Faktoren für [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] auf 1 gebracht.
Jo, das kannst du machen, brauchst du aber nicht, du kannst direkt hier in der ZSF mit dem Rückwärtseinsetzen loslegen
> Danach hab ich alles wieder als Gleichung mit x angeschrieben und
> bin auf folgende Lösung gekommen (indem ich [mm]x_{3}[/mm] = k [mm]\in \IR[/mm]
> gesetz habe.) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
guter Plan!
>
> [mm]\vektor{ \bruch{13}{6} \\ \bruch{7}{3} \\ \bruch{4}{9} }[/mm] + k * [mm]\vektor{ \bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0 }[/mm] , k [mm]\in \IR[/mm]
Wie kann das sein?
Der Lösungsvektor (und auch der "Verschiebungsvektor) hat doch 4 Komponenten, ist also aus dem [mm] $\IR^4$
[/mm]
Im LGS $Ax=b$ ist $A$ eine [mm] $3\times [/mm] 4$-Matrix, die du doch mit einem Vektor [mm] $x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}\in\IR^4$ [/mm] multiplizieren musst, um auf dein [mm] $b\in\IR^3$ [/mm] zu kommen.
[mm] $3\times [/mm] 4$ [mm] \cdot{} $4\times [/mm] 1$ = [mm] $3\times [/mm] 1$
>
> Und jetzt wollte ich wissen ob das die richtige Methode
> ist, bei solch einem Gleichungssystem die allgemeine Lösung
> zu bestimmen.
Die Methode stimmt, aber ermittle nochmal die Lösungsgesamtheit ausgehend von der obigen Matrix in ZSF
>
> Danke im voraus für die Hilfe,
> mfg tom
LG
schachuzipus
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Hallo, danke erstmal für die Hilfe.
Jetzt dürfte ich eine 'gültige' kösung haben ;).
[mm] \vektor{\bruch{-1}{6} \\ \bruch{-1}{3} \\ 0 \\ \bruch{4}{9} } [/mm] + k * [mm] \vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 1 \\ 0} [/mm] , k [mm] \in \IR
[/mm]
mfg tom
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:54 Fr 07.11.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo tom,
jetzt ist die Rechnung okay so, bekomme das gleiche Ergebnis raus.
Viele Grüße,
Infinit
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