3 Beweise in der Mengenlehre < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Seien L,M,N Mengen. Zeigen Sie dass,
[mm] L\cup(M\cap [/mm] N) = [mm] (L\cup M)\cap(L\cup [/mm] N)
gilt |
| Aufgabe 2 | Die Differentmenge [mm] M\N [/mm] zweier Mengen M,N ist definiert durch
[mm] M\backslash N:=\{x|x \in M , x\not\in N \}.
[/mm]
Seien dann L,M,N Mengen. Zeigen Sie,dass
[mm] L\backslash(M\cap N)=(L\backslash M)\cup (L\backslash [/mm] N), [mm] L\backslash(M\cup N)=(L\backslash M)\cap (L\backslash [/mm] N) gelten. |
Hallo
Ich wäre euch sehr dankbar, wenn mir jemand bei den Aufgaben helfen könnte. Ich habe nur die deutsche Grundschule besucht. Den Rest hab ich in Griechenland gemacht. Ich bin vor einem Monat nach Deutschland zurück gekommen um hier Informatik zu studieren. Leider wurde meine Anmeldung durch mein griechischem Abi verzögert und ich hab erst seit Mittwoch meine Matrikel nummer. Ich habe also 2 Wochen Unterricht verpasst und in Griechenland hatten wir keine Mengenlehre gemacht. Das macht man da erst ab dem ersten Semester. Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir bei den Aufgaben helfen könntet. Ich muss durch die Übungen Punkte sammeln um zur Klausur zugelassen zu werden. Ich hab schon in zwei Bücher zum Thema nachgeschlagen aber ohne eine Aufgabe gemacht zu haben, kann man das nicht machen. Ich versuch schon die ganze Zeit aber irgendwie krieg ich das nicht hin. Ich muss das bis morgen abgeben. Ich bin über jede Hilfe dankbar.
Cross-Posting: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Es geht um Aussagen über Mengen. Die Beweise kann man mit ein bisschen Übung relativ schnell führen.
1. Wenn die Gleichheit von zwei Mengen A und B zu zeigen ist (also A = B, wie bei deinen Aufgaben), musst du zweierlei zeigen: [mm] $A\subset [/mm] B$ und [mm] $B\subset [/mm] A$.
2. Wenn du zeigen willst, dass eine Menge A Teilmenge einer anderen Menge B ist (also [mm] A\subset [/mm] B), musst du zeigen, dass für jedes [mm] $x\in [/mm] A$ folgt: [mm] $x\in [/mm] B$.
Damit hast du die grundsätzliche Struktur, wie deine Beweise auszusehen haben. Nun noch zwei Infos, die dir schon bekannt sein dürften, aber trotzdem:
3. $A [mm] \cup [/mm] B$ bezeichnet die Vereinigung von A und B, d.h. $A [mm] \cup [/mm] B$ enthält alle Elemente, die in A oder B enthalten sind. Es gilt daher: [mm] $A\subset (A\cup [/mm] B)$ und [mm] $B\subset (A\cup [/mm] B)$.
Wenn du in deinem Beweis zu der Aussage kommst: [mm] $x\in (A\cup [/mm] B)$, heißt das also, dass x entweder in A oder in B ist (oder in beiden). Man macht aber dieser Stelle immer eine Fallunterscheidung und betrachtet die beiden Fälle:
a) [mm] $x\in [/mm] A$, dann folgt ...
b) [mm] $x\in [/mm] B$, dann folgt ...
4. [mm] $A\cap [/mm] B$ bezeichnet den Durchschnitt der beiden Mengen A und B, d.h. $A [mm] \cap [/mm] B$ enthält nur die Elemente, die in A und B enthalten sind. Es gilt daher auch: [mm] $(A\cap [/mm] B) [mm] \subset [/mm] A$ und [mm] $(A\cap [/mm] B) [mm] \subset [/mm] B$.
Wenn du in deinem Beweis zu der Aussage kommst: [mm] $x\in (A\cap [/mm] B)$, heißt das also, dass x sowohl in A als auch in B enthalten ist, also gilt dann: [mm] $x\in [/mm] A$ und [mm] $x\in [/mm] B$.
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So, nun beginnen wir mal mit einem Beweis, der Aufgabe 1.
Zu zeigen: [mm] $L\cup(M\cap [/mm] N) = [mm] (L\cup M)\cap(L\cup [/mm] N)$
Beweis:
(Wie schon oben bemerkt, müssen wir zwei Sachen zeigen: Die linke Menge ist Teilmenge der rechten, die rechte Menge ist Teilmenge der linken!)
" [mm] \subset [/mm] ":
Sei [mm] $x\in L\cup(M\cap [/mm] N)$. Dann ist [mm] $x\in [/mm] L$ oder [mm] $x\in (M\cap [/mm] N)$ (Vgl. 3. oben!!!).
Fall 1: [mm] $x\in [/mm] L$. Dann ist (wegen [mm] $L\subset [/mm] (L [mm] \cup [/mm] M)$, vgl. 3. oben!!!) $x [mm] \in (L\cup [/mm] M)$, und auch [mm] $x\in (L\cup [/mm] N)$. Daraus folgt [mm] $x\in (L\cup M)\cap(L\cup [/mm] N)$ (Da x in beiden Mengen [mm] $(L\cup [/mm] M)$ und [mm] $(L\cup [/mm] N)$ enthalten ist, wie wir zeigen konnten, ist es auch im Durchschnitt der beiden Mengen enthalten, vgl. 4. oben!!!).
Fall 2: [mm] $x\in (M\cap [/mm] N)$. Dann ist [mm] $x\in [/mm] M$ und [mm] $x\in [/mm] N$ (vgl. 4. oben!!!). Damit ist [mm] $x\in L\cup [/mm] M$ und [mm] $x\in L\cup [/mm] N$. Daraus folgt [mm] $x\in (L\cup M)\cap(L\cup [/mm] N)$.
Damit ist die eine Richtung gezeigt. Nun probiere du die andere Richtung!
" [mm] \supset [/mm] ":
Sei [mm] $x\in (L\cup M)\cap(L\cup [/mm] N)$. Dann ist ...
Viele Grüße,
Stefan
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Vielen Dank. Ich konnte jetzt auch den Rest des Beweises machen, da du mir das oben gut erklärt hast. Was ich jetzt nicht genau weiß, ist wie ich die Aufgabe mit der Differenzmenge lösen soll. Ich hab da bis jetzt das stehen:
Sei x $ [mm] \in [/mm] $ L $ [mm] \backslash [/mm] $ ( M $ [mm] \cap [/mm] $ N ),
so ist x $ [mm] \in [/mm] $ L und x $ [mm] \not\in [/mm] $ ( M $ [mm] \cap [/mm] $ N )
Daraus gilt
$ \ [mm] x\notin (M\cap{N}) [/mm] $ heisst also $ \ [mm] x\notin [/mm] M\ [mm] \vee\ x\notin [/mm] N $
Es gilt:
$ \ [mm] x\in (L\backslash{M})\quad\gdw\quad x\in [/mm] L\ [mm] \wedge\ x\notin [/mm] M $
also auch:
$ \ [mm] x\in (L\backslash{M})\cup(L\backslash{N})\quad\gdw\quad (x\in [/mm] L\ [mm] \wedge\ x\notin [/mm] M)\ [mm] \vee\ (x\in [/mm] L\ [mm] \wedge\ x\notin [/mm] N) $
Reicht das oder muss ich da mehr schreiben?
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Hallo!
So, wie du es aufgeschrieben hast, vermittelt es, dass du es verstanden hast. Allerdings sollte man einen Beweis ein bisschen anders schreiben:
> Sei x [mm]\in[/mm] L [mm]\backslash[/mm] ( M [mm]\cap[/mm] N ),
> so ist x [mm]\in[/mm] L und x [mm]\not\in[/mm] ( M [mm]\cap[/mm] N )
> Daraus gilt
Besser: "Daraus folgt"
> [mm]\ x\notin (M\cap{N})[/mm] heisst also [mm]\ x\notin M\ \vee\ x\notin N[/mm]
Nicht nochmal dasselbe hinschreiben, sondern:
"Daraus folgt [mm] $x\in [/mm] L$ und ( [mm] $x\notin [/mm] M$ oder [mm] $x\notin [/mm] N$ ) ".
Wichtig: Auch das [mm] $x\in [/mm] L$ mitnehmen, sonst hat das der (ungeneigte) Leser schon wieder vergessen bei deinem nächsten Schritt 
Nun kommt eine Fallunterscheidung, da du wieder ein "oder" hast:
"Fall 1: [mm] $x\in [/mm] L$ und [mm] $x\notin [/mm] M$. Dann folgt [mm] $x\in [/mm] L [mm] \textbackslash [/mm] M [mm] \subset (L\textbackslash M)\cup [/mm] (L [mm] \textbackslash [/mm] N)$, also [mm] $x\in(L\textbackslash M)\cup [/mm] (L [mm] \textbackslash [/mm] N)$. "
"Fall 2: [mm] $x\in [/mm] L$ und [mm] $x\notin [/mm] N$. Dann folgt ... "
Mach es lieber so, so ist es unmissverständlich und in logischer Reihenfolgt aufgeschrieben.
Und denk' dran: Es bleibt nun noch die Gegenrichtung zu zeigen, also dass [mm] $(L\textbackslash M)\cup [/mm] (L [mm] \textbackslash N)\subset L\textbackslash (M\cap [/mm] N)$.
Grüße,
Stefan
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