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Hallo Leute,
Wir habe jetzt Dreifachintegrale angefangen und ich übe sie zur Zeit und könnte Hilfe von euch gebrauchen.
Die Frage lautet wiefolgt:
4. Man schreibe [mm] \integral \integral \integralD
[/mm]
f(x; y; z)dxdydz als iteriertes Integral:
a) D = ((x; y; z) : 2z [mm] \ge [/mm] x² + y²; x² + y² + z² [mm] \le [/mm] 3).
b) D ist begrenzt durch die Flächen x² + y² = 1; z = 0; z = 1.
c)Fläche begrenzt durch z = x² + y², z = 1.
d) x² + y² = a²; x² + y² - z² =- a².
Es wäre nett, wenn mir jemand helfen kann. Danke
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Hallo MisterMarc,
> 4. Man schreibe [mm]\integral \integral \integralD[/mm]
> f(x; y;
> z)dxdydz als iteriertes Integral:
> a) D = ((x; y; z) : 2z [mm]\ge[/mm] x² + y²; x² + y² + z² [mm]\le[/mm]
> 3).
> b) D ist begrenzt durch die Flächen x² + y² = 1; z = 0; z
> = 1.
> c)Fläche begrenzt durch z = x² + y², z = 1.
> d) x² + y² = a²; x² + y² - z² =- a².
poste uns doch einmal Deine eigenen Ansätze.
Zunächst mußt Du ja mal den Bereich festlegen, zwischen welchen Grenzen Du zu integrieren hast.
Das Integral schreibt sich dann so:
[mm]\int\limits_{x_0 }^{x_1 } {\int\limits_{\varphi _0 \left( x \right)}^{\varphi _1 \left( x \right)} {\int\limits_{\psi _0 \left( {x,\;y} \right)}^{\psi _1 \left( {x,\;y} \right)} {f\left( {x,\;y,\;z} \right)\;dz\;dy\;dx} } } [/mm]
Gruß
MathePower
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1. Meine eigenen Ansätze sind schlecht und unverwehrtbar..sorry
2. In der Aufgabe geht es darum die Integrationsgrenzen festzulegen (unabhängig von der funktion)
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Hallo MisterMarc,
> 1. Meine eigenen Ansätze sind schlecht und
> unverwehrtbar..sorry
das macht doch nichts.
>
> 2. In der Aufgabe geht es darum die Integrationsgrenzen
> festzulegen (unabhängig von der funktion)
zu Aufgabe 4a)
Da sind die zwei Gleichungen
[mm]
\begin{gathered}
x^2 \; + \;y^2 \; \leqslant \;2\;z \hfill \\
x^2 \; + \;y^2 \; + \;z^2 \; \leqslant \;3 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Die erste Gleichung ist die Kreisgleichung. Das heisst:
[mm]
\begin{gathered}
x^2 \; + \;y^2 \; = \;2\;z \hfill \\
\Rightarrow \;y\; \in \;\left[ { - \sqrt {2\;z\; - \;x^2 } ,\; + \sqrt {2\;z\; - \;x^2 } } \right]\;x\; \in \;\left[ { - \sqrt {2\;z} ,\; + \;\sqrt {2\;z} } \right] \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Nun bleibt noch die Grenze für z festzulegen. Diese erhältst Du wenn [mm]x^{2}\;+\;y^{2}[/mm] durch [mm]2\;z[/mm] ersetzt wird:
[mm]
\begin{gathered}
z^2 \; + \;2\;z\; = \;3 \hfill \\
\Rightarrow \;\left( {z\; + \;1} \right)^2 \; = \;4 \hfill \\
\Rightarrow z\; \in \;\left[ { - 3,\;1} \right] \hfill \\
\end{gathered} [/mm].
Nun da die Gleichung [mm]x^2 \; + \;y^2 \; = \;2\;z[/mm] nur für [mm]z\;\ge\;0[/mm] Lösungen hat, gilt [mm]z\; \in \;\left[ { 0,\;1} \right][/mm].
Es ergeben sich also die Integrationsgrenzen zu:
[mm]
\begin{gathered}
y\; \in \;\left[ { - \sqrt {2\;z\; - \;x^2 } ,\; + \sqrt {2\;z\; - \;x^2 } } \right] \hfill \\
x\; \in \;\left[ { - \sqrt {2\;z} ,\; + \;\sqrt {2\;z} } \right] \hfill \\
z\; \in \;\left[ {0,\;1} \right] \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Ich hoffe, daß Du die anderen Teilaufgaben jetzt auch lösen kannst.
Gruß
MathePower
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Hi,
ich hätt dazu mal noch eine Frage. Es wurden also die Grundbedingen so zerlegt, dass man die Intervalle für die Variablen bekam, so dass die Bedingungen erfüllt sind, richtig?
Jetzt ist doch aber beispielsweise der Punkt [mm] (0,0,\wurzel{3}) [/mm] auch ein Punkt des Gebietes, der die Gleichungen erfüllt, aber z ist ja nach der Rechnung nur [mm] \in [/mm] [0,1].
Sorry, falls es ne dämliche Frage ist. Ansonsten hätt ich das nämlich auch raus, aber das verwirrt mich.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:53 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo steelscout
das liegt daran, dass Mathepowers Antwort falsch ist!
Mach doch mal eine Zeichnung.
Wenn du die erste Ungleichung als Gleichung schreibst, dann stellet du fest, dass es sich um ein Rotationsparaboloie handelt.
In Zylinderkoordinaten wäre das ja [mm] $z=\bruch{r^2}{2}$. [/mm]
Um die erste Ungleichung zu erfüllen, sind also die Punkte zu betrachten, die "innerhalb" des Paraboloids liegen.
Die zweite Ungleichung sagt noch, dass die Punkte innerhalb der Ursprungskugel liegen müssen, deren Radius den Wert [mm] $\wurzel{3}$ [/mm] hat.
Du kannst also leicht die Zeichnung der Situation machen, wie sie in der x-z-Ebene vorliegt: [mm] $z=\bruch{x^2}{2}$ [/mm] und [mm] $x^2+z^2=3$. [/mm] Die Fläche zwischen diesen zwei Kurven rotiert um die z-Achse. An der Zeichnung siehst du auch auf einen Blick, dass es nicht sinnvoll ist, zuerst die Grenzen für $x_$ (oder $y_$) festzulegen, da diese im unteren Teil durch ein Paraboloid festgelegt werden, im oberen Teil hingegen durch eine Kugel. Das führt zu Fallunterscheidungen!
Wenn du hingegen zuerst die z-Grenzen festlegst, dann stellst du unschwer fest, dass überall die Grenzen so festgelegt sind:
[mm] $\left[x^2+y^2, \wurzel{3-x^2-y^2}\right]$
[/mm]
Somit kannst du die Figur parallel zur z-Achse auf die x-y-Ebene projizieren. Kamit ergibt sich ein Kreis mit Radius [mm] $\wurzel{2}$.
[/mm]
Da kannst du zum Beispiel zuerst die Grenzen für $y_$ festlegen, damit alles im Kreis liegt:
[mm] $-\wurzel{2-x^2}\le [/mm] y [mm] \le +\wurzel{2-x^2}$
[/mm]
Die Projektion des Kreises parallel zur y-Achse auf die x-Achse ergibt dann noch die x-Strecke von [mm] $-\wurzel{2}$ [/mm] bis [mm] $+\wurzel{2}$
[/mm]
Damit sind die Grenzen festgelegt.
Mit vielen Grüssen
Paul
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