2pz-Orbit eines Elektrons < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 So 27.04.2008 | | Autor: | crash |
| Aufgabe | Orbitalmodell des Wasserstoffatoms
Da ein Elektron nie genau zu lokalisieren ist, ordnet man dem Raum rund um den
Atomkern eine Aufenthaltswahrscheinlichkeit w(x) zu. Ist das Elektron in den 2pz-
Zustand angeregt, beträgt seine Aufenthaltswahrscheinlichkeit für den Ort x
[mm] w(\vec{x}) [/mm] = A [mm] e^{-\alpha * \wurzel[2]{x^2+y^2+z^2}}*\bruch{1}{32\pi}*z^2 [/mm]
[mm] \alpha [/mm] = [mm] 1/a_{0} [/mm] wobei [mm] a_{0} [/mm] Bohrscher Radius genannt wird.
(a) In welchen Raumbereichen wird das Elektron nie anzutreffen sein? Wo ist
die Aufenthaltswahrscheinlichkeit am größten? Hier hilft Gradient = 0 setzen weiter |
Hallo Leute,
ich habe bei der Aufgabe Kugelkoordinaten verwendet und den Gradienten gebildet.
Dieser gleich Null gesetzt, ergibt einen Term
[mm] \bruch{ArbC}{e^{\alpha*r}} [/mm] * ( [mm] C(\alpha^2r^2+2) \vec{e}_{r} [/mm] - [mm] 2S\vec{e}_{\theta} [/mm] ) = 0
wobei b = [mm] \bruch{1}{32\pi}, [/mm] C = [mm] cos\theta, [/mm] S = [mm] sin\theta
[/mm]
da sehe ich, das das elektron nie bei r = 0 und r = unendlich sein wird.
Jetzt steht in dem term aber noch eine Abhängigkeit vom Winkel [mm] \theta, [/mm] weil die beiden orbitale ja entlang der z-Achse liegen, jeweils oberhalb und unterhalb der x-y-Ebene.
Meine Frage: Wie rechne ich jetzt aus, in wie weit die Aufenthaltswahrscheinlichkeit vom Winkel abhängt und wie der Abstand vom Ursprung da mitspricht?
Ich habe überlegt, die Einheitsvektoren auszuschreiben und ein LGS zu bilden, das bringt aber irgendwie nix.
Kann mir jemand helfen?
Viele Grüße, David
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:26 Mo 28.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo David!
> Orbitalmodell des Wasserstoffatoms
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> Da ein Elektron nie genau zu lokalisieren ist, ordnet man
> dem Raum rund um den
> Atomkern eine Aufenthaltswahrscheinlichkeit w(x) zu. Ist
> das Elektron in den 2pz-
> Zustand angeregt, beträgt seine
> Aufenthaltswahrscheinlichkeit für den Ort x
>
> [mm]w(\vec{x})[/mm] = A [mm]e^{-\alpha * \wurzel[2]{x^2+y^2+z^2}}*\bruch{1}{32\pi}*z^2[/mm]
>
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]1/a_{0}[/mm] wobei [mm]a_{0}[/mm] Bohrscher Radius genannt
> wird.
> (a) In welchen Raumbereichen wird das Elektron nie
> anzutreffen sein? Wo ist
> die Aufenthaltswahrscheinlichkeit am größten? Hier hilft
> Gradient = 0 setzen weiter
> Hallo Leute,
>
> ich habe bei der Aufgabe Kugelkoordinaten verwendet und den
> Gradienten gebildet.
> Dieser gleich Null gesetzt, ergibt einen Term
>
> [mm]\bruch{ArbC}{e^{\alpha*r}}[/mm] * ( [mm]C(\alpha^2r^2+2) \vec{e}_{r}[/mm]
> - [mm]2S\vec{e}_{\theta}[/mm] ) = 0
>
> wobei b = [mm]\bruch{1}{32\pi},[/mm] C = [mm]cos\theta,[/mm] S = [mm]sin\theta[/mm]
Das habe ich jetzt nicht nachgerechnet. Kugelkoordinaten scheinen mir nicht die beste Wahl zu sein, da die Aufenthaltswahrscheinlichkeit zylindersymmetrisch ist.
> da sehe ich, das das elektron nie bei r = 0 und r =
> unendlich sein wird.
Das ist richtig, aber nicht vollständig. An welchen anderen Stellen wird die Aufenthaltswahrscheinlichkeit 0? Das kannst du angeben, ohne den Gradienten auszurechnen.
> Jetzt steht in dem term aber noch eine Abhängigkeit vom
> Winkel [mm]\theta,[/mm] weil die beiden orbitale ja entlang der
> z-Achse liegen, jeweils oberhalb und unterhalb der
> x-y-Ebene.
> Meine Frage: Wie rechne ich jetzt aus, in wie weit die
> Aufenthaltswahrscheinlichkeit vom Winkel abhängt und wie
> der Abstand vom Ursprung da mitspricht?
Tipp: Wegen der Zylindersymmetrie reicht es zum Beispiel, die xz-Ebene zu betrachten, also y=0.
Viele Grüße
Rainer
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