2^n mod 3? < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 So 19.04.2009 | | Autor: | pittster |
Hallo,
gerade bin ich durch Zufall über eine interessante entdeckung gestolpert:
[mm] $2^n \equiv [/mm] 2$ (mod 3) für alle ungeraden n < 64 [mm] $\in \mathbb{N}$ [/mm]
und
[mm] $2^n \equiv [/mm] 1$ (mod 3) für alle geraden n < 64 [mm] $\in \mathbb{N}$
[/mm]
Ich bin mir jetzt nicht sicher, ob das tatsächlich eine Sache ist, die sich um die Zahlentheorie dreht (evtl. ist es ja auch etwas algebraisches) ist, also seid mir bitte nicht böse, wenn ich mich im Forum geirrt habe.
Meine Frage ist nun, wie man dieses Verhalten für alle $n [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] beweisen könnte. Ist das möglich?
lg
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> [mm]2^n \equiv 2[/mm] (mod 3) für alle ungeraden n < 64 [mm]\in \mathbb{N}[/mm]
> und
> [mm]2^n \equiv 1[/mm] (mod 3) für alle geraden n < 64 [mm]\in \mathbb{N}[/mm]
> Meine Frage ist nun, wie man dieses Verhalten für alle [mm]n \in \mathbb{N}[/mm]
> beweisen könnte. Ist das möglich?
Hallo,
das sollte doch gehen, wenn Du bedenkst, daß 2=(3-1) ist, also [mm] 2^n=(3-1)^n, [/mm] und dann den binomischen Satz.
Oder per Induktion.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:14 So 19.04.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo pittster,
noch einfacher: [mm] 2\equiv -1\mod{3} \Rightarrow 2^n \equiv (-1)^n \mod{3}
[/mm]
Fertig.
Grüße
reverend
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