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| Aufgabe | Gegeben seien die Mengen
[mm] G_{1}:= [/mm] { [mm] (x,y)^{T}\in\IR: 1\le(x-2)^{2}+(y-1)^{2}\le4,y-1\ge-|x-2| [/mm] },
[mm] G_{2}:= [/mm] { [mm] (x,y)^{T}\in\IR: 1\le x^{2}+y^{2}\le4,y\ge0 [/mm] oder [mm] x\ge0 [/mm] }
a) Formulieren Sie den zweidimensionalen Transformationssatz für eine beliebige affin-lineare Transformation
[mm] T(u,v)=A\vektor{u \\ v}+\vektor{b_{1} \\ b_{2}}
[/mm]
b) Stellen Sie die in Abb.2 dargestellte Transformation von [mm] G_{2} [/mm] nach [mm] G_{1} [/mm] als affin-lineare Abbildung [mm] T_{k}:G_{2}\to G_{1} [/mm] im kartesischen KOS dar. (Tipp: Translation + Rotation)
c) Stellen Sie die dargestellte Transformation nun als affig-lineare Abbildung [mm] T_{p}:G_{2}\to G_{1} [/mm] im Polarkoordinatensystem dar.
d) Berechnen Sie die Masse von [mm] G_{2} [/mm] mit der Dichte [mm] \delta(x,y)=x^{2}+y^{2} [/mm] mit Hilfe einer Transformation [mm] T:H\to G_{2} [/mm] von kartesischen in Polarkoordinaten
e) Begründen Sie, warum gilt
[mm] \integral\integral_{G_{1}}^{}{\delta(x,y) d(x,y)}=\integral\integral_{G_{2}}^{}{\delta(x,y) d(x,y)} [/mm] |
zu d)
nach Anwendung der Transformation komm ich auf folgendes:
[mm] H(r,\alpha)= [/mm] { [mm] \vektor{r \\ \alpha}\in\IR^{2}: 1\le r\le [/mm] 2, [mm] -\bruch{\pi}{2}\le\alpha\le\pi [/mm] }
[mm] det(J_{T}(r,\alpha))=r
[/mm]
Somit berechnet sich die Masse:
[mm] M=\integral_{1}^{2}\integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{r^{3} d\alpha dr}=...=\bruch{45}{8}\pi
[/mm]
zu b)
Leider kann ich Abbildung 2 hier nicht einfügen sry schonmal hierfür
Ich dachte mir dazu dass es eine Drehung u den Winkel [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] ist und das ganze noch um den Vektor [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] verschoben ist
Wenn ich nun die Drehmatrix [mm] \pmat{ cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) } [/mm] verwende würde ich auf folgendes kommen:
[mm] T_{k}=\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }\vektor{x_{1} \\ x_{2}}+\vektor{2 \\ 1}
[/mm]
zu c)
vorausgesetzt b) stimmt, muss ich dann hier nur [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] durch polarkoordinaten ersetzen?
Bei dem gleichen Winkel [mm] \alpha [/mm] wie in b) hätte ich dann ja
[mm] T_{p}=\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }\vektor{0 \\ r}+\vektor{2 \\ 1}
[/mm]
zu a)
hier komm ich nicht so recht voran
Ich kenne den Transformationssatz und hab eig auch keine Probleme diesen bei Mengen wie [mm] G_{1} [/mm] oder [mm] G_{2} [/mm] anzuwenden, allerdings mit dieser affine-linearen Transformation weiß ich nicht so recht wie ich umgehen soll
zu e)
kann man hier sagen dass es sich im Grunde um die gleichen Mengen handelt, nur durch Rotation und Translation verschoben. Somit gilt die Bedingung
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Fr 27.11.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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