2 Äquivalenzrelationen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien A1 und A2 Äquivalenzrelationen auf einer Menge M. Zeigen oder Widerlegen Sie:
i) A1 [mm] \cup [/mm] A2 ist eine Äquivalenzrelation auf M.
ii) A1 [mm] \cap [/mm] A2 ist eine Äquivalenzrelation auf M.
iii) A1 \ A2 ist eine Äquivalenzrelation auf M. |
Hallo!
Ich hab mir schon diverse Artikel hier im Forum zum Theme Äquivalenzrelationen durch gelesen, aber irgendwie konnt ich damit nix anfangen.
Klar ist:
R ist Äquivalenzrelation genau dann wenn
R reflexiv, symmetrisch, transitiv. (die 3 Begriffe sind mir auch voll und ganz geläufig ;) )
Unklar ist:
Wie ich das mit diesen 3 Aufgaben in Verbindung bringe.
c) könnte man ja eventuell durch ein Gegenbeispiel widerlegen.
Also mein Ansatz ist:
Ich nehm eine Menge z.B.:
M := [mm] \{ 1 , 2 , 3 \}
[/mm]
Jetzt bilde ich 2 Äquivalenzrelationen:
A1 := [mm] \{ (1,1) , (2,2) , (3,3), (1,2), (2,1) \}
[/mm]
A2 := [mm] \{ (1,1) , (2,2) , (3,3) \}
[/mm]
A1 \ A2 wäre ja dann
A1 \ A2 = [mm] \{ (1,2) , (2,1) \}
[/mm]
diese Menge ist nicht mehr reflexiv => A1 \ A2 ist i.d.R. keine Äquivalenzrelation.
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b) auch durch ein Gegenbeispiel?!
A1 := [mm] \{ (1,1) , (2,2) , (3,3), (1,2), (2,1) \}
[/mm]
A2 := [mm] \{ (1,2), (2,1) \}
[/mm]
A1 [mm] \cap [/mm] A2 wäre ja dann
A1 [mm] \cap [/mm] A2 = [mm] \{ (1,2) , (2,1) \}
[/mm]
wie bei c) => A1 [mm] \cap [/mm] A2 ist i.d.R. keine Äquivalenzrelation
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a) Ich hab gelesen man kann das irgendwie direkt aus der Definition folgern, aber ich hab wirklich gar keine Ahnung wie das geht.
ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 So 18.11.2007 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
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> Klar ist:
> R ist Äquivalenzrelation genau dann wenn
> R reflexiv, symmetrisch, transitiv. (die 3 Begriffe sind
> mir auch voll und ganz geläufig ;) )
...das ist doch schon mal schön 
>
> Unklar ist:
> Wie ich das mit diesen 3 Aufgaben in Verbindung bringe.
Wenn ich mir Deine Ansätze so anschaue scheint es nicht so ganz unklar zu sein. Aber mal im Detail:
>
> c) könnte man ja eventuell durch ein Gegenbeispiel
> widerlegen.
Ja!
>
> Also mein Ansatz ist:
>
> Ich nehm eine Menge z.B.:
>
> M := [mm]\{ 1 , 2 , 3 \}[/mm]
>
> Jetzt bilde ich 2 Äquivalenzrelationen:
>
> A1 := [mm]\{ (1,1) , (2,2) , (3,3), (1,2), (2,1) \}[/mm]
> A2 := [mm]\{ (1,1) , (2,2) , (3,3) \}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> A1 \ A2 wäre ja dann
>
> A1 \ A2 = [mm]\{ (1,2) , (2,1) \}[/mm]
> diese Menge ist nicht mehr
> reflexiv => A1 \ A2 ist i.d.R. keine Äquivalenzrelation.
Pass aber mit den Formulierungen ein bisschen auf. Eine Menge ist niemals reflexiv, weil der Begriff nur für Relationen definiert ist. Daher besser "diese Relation" statt "diese Menge".
Wenn man Dein Beispiel etwas allgemeiner betrachtet kann man feststellen, dass A1 [mm] \setminus [/mm] A2 nie (ausser für leeres M) eine Äquivalenzrelation sein kann, weil ja die Paare der Form (a,a) sowohl in A1 als auch in A2 liegen müssen und daher in der Differenz immer fehlen.
>
>
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>
> b) auch durch ein Gegenbeispiel?!
>
> A1 := [mm]\{ (1,1) , (2,2) , (3,3), (1,2), (2,1) \}[/mm]
> A2 := [mm]\{ (1,2), (2,1) \}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") , denn A2 ist ja keine Äquivalenzrelation. Damit funktioniert das Gegenbeispiel schon mal nicht.
Mit einem Gegenbeispiel wirst Du hier auch nicht weit kommen, denn A1 [mm] \cap [/mm] A2 ist nämlich tatsächlich eine Äquivalenzrelation.
Also muss man die drei genannten Eigenschaften nachweisen. Ich zeige das mal am Beispiel der Reflexivität, Transitivität und Symmetrie kannst Du dann machen.
Also: Zu zeigen ist, dass für alle a [mm] \in [/mm] M gilt, dass (a,a) [mm] \in A1\cap [/mm] A2.
Sei also a [mm] \in [/mm] M. da A1 eine Äquivalenzrelation auf M ist muss (a,a) [mm] \in [/mm] A1 sein. Da A2 aber ebenfalls eine Äquivalenzrelation ist, ist ebenso (a,a) [mm] \in [/mm] A2. Also ist (a,a) [mm] \in A1\cap [/mm] A2 - w.z.b.w.
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> a) Ich hab gelesen man kann das irgendwie direkt aus der
> Definition folgern, aber ich hab wirklich gar keine Ahnung
> wie das geht.
Das glaube ich nicht, denn für den Fall habe ich ein Gegenbeispiel gefunden. Wenn man ein bisschen überlegt stellt man fest, dass Symmetrie und Reflexivität nach der Vereinigung immer noch gelten, also muss man ein Gegenbeispiel konstruieren, bei dem A1 [mm] \cup [/mm] A2 nicht mehr transitiv ist. Wie das genau aussehen muss überlasse ich Dir mal als Knobelaufgabe.
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> ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen :)
Ich hoffe das hat etwas geholfen....
Gruß
piet
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