2 Zahlen mit ab-1 nicht quadra < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:25 Mi 09.05.2007 | | Autor: | Ares1804 |
| Aufgabe | Es sei d eine positive natürliche Zahl mit d 62 {2, 5, 13}. Zeige, daß es in der Menge
{2, 5, 13, d} zwei Zahlen a, b gibt, so daß ab − 1 keine Quadratzahl ist.
Hinweis: Wir haben in der Vorlesung Restklassen modulo b - also arithmetische Progressionen,
d.h. zu gegebenem a, b Mengen der Form {a + b.n|n 2 N}, untersucht. |
Hi Leute,
Wahrscheinlich ist es gar nicht so schwer, aber ich stehe gerade komplett auf dem Schlauch!
Könnte mir bitte jemand weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Grüße
M.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 Mi 09.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
kannst du genauer die Eigenschaften von d angeben? die 62 hinter d versteh ich nicht.
auch die Menge{a + b.n|n 2 N} fällt mir schwer zu interpretieren.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Mi 09.05.2007 | | Autor: | Ankh |
> Es sei d eine positive natürliche Zahl mit d 62 {2, 5, 13}.
> Zeige, daß es in der Menge
> {2, 5, 13, d} zwei Zahlen a, b gibt, so daß ab − 1
> keine Quadratzahl ist.
>
> Hinweis: Wir haben in der Vorlesung Restklassen modulo b -
> also arithmetische Progressionen,
So wie die Aufgabe gestellt ist, könnte man einfach a=b=2 setzen, denn ab-1=3 ist keine Quadratzahl.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:13 Mi 09.05.2007 | | Autor: | Ares1804 |
Ups, da hat wohl die Übertragung gesponnen:
Es sei d eine positive natürliche Zahl mit d [mm] \not\in [/mm] {2, 5, 13}. Zeige, daß es in der Menge
{2, 5, 13, d} zwei Zahlen a, b gibt, so daß ab − 1 keine Quadratzahl ist.
Wir haben in der Vorlesung Restklassen modulo b - also arithmetische Progressionen,
d.h. zu gegebenem a, b Mengen der Form {a + b.n|n [mm] \in [/mm] IN}, untersucht.
Ich kann mir aber irgendwie nicht vorstellen, dass die Aufgabe durch a=b=2 gelöst ist.....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:12 Mi 09.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Aufgabentext ist unklar, aber nur sinnvoll wenn du das für alle d und natürlich [mm] a\ne [/mm] b zeigst. dann muss d a oder b sein.
Ich hab keine Beweisidee, würd also erstmal mit ein paar d spielen d=1 1*2-1 QZ; 1*5-1 Qz 1*13-1 keine QZ. usw.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Mi 09.05.2007 | | Autor: | wauwau |
angenommen es gäbe eine Zahl d
mit
[mm]
2d-1=n^2[/mm] (1)
[mm]5d-1=m^2[/mm] (2)
[mm]13d-1=k^2[/mm] (3)
für gewisse n,m,k
n muss wegen (1) ungerade sein (*)
(2)-(1) ergibt
[mm] 3d=m^2-n^2
[/mm]
(3)-(2) ergibt
[mm] 8d=k^2-m^2
[/mm]
diese beiden das d elimiert ergibt
[mm] 11m^2=8n^2+3k^2 [/mm] (i)
wegen (1) und (2) gilt aber auch
[mm] 2n^2+d+1=m^2
[/mm]
analog
[mm] 6n^2+d+5=k^2
[/mm]
wiederum d elimiert
[mm] m^2-2n^2-1 [/mm] = [mm] k^2-6n^2-5
[/mm]
oder
[mm] k^2=4n^2+m^2+4 [/mm]
[mm] 3k^2=12n^2+3m^2+12
[/mm]
dies in (i) eingesetzt ergibt
[mm] 11m^2=8n^2+12n^2+3m^2+12
[/mm]
oder aber
[mm] 8m^2=20n^2+12
[/mm]
[mm] 2m^2=5n^2+3 [/mm] (ii)
Vielleicht hilft das ja weiter
|
|
|
|
