2 Potenzreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 So 31.08.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Für welche reellen Zahlen x konvergieren die folgenden Reihen:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n*\bruch{x^{2n}}{(2n!)}
[/mm]
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^{2n}}{(2n!)} [/mm] |
Ich habe mir zur ersten Reihe erstmal
[mm] a_n=\bruch{(-1)^n}{(2n)!}
[/mm]
[mm] a_{n+1}=\bruch{(-1)^{n+1}}{(2n+2)!}
[/mm]
aufgeschrieben.
dann
[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right|
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(2n+2)!}{(2n)!}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(2n)!(2n+1)(2n+2)}{(2n)!}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}4n^2+6n+2
[/mm]
[mm] =\infty
[/mm]
x konvergiert für
[mm] x=\pm\infty
[/mm]
Für die 2te Reihe bekomme ich das gleiche Ergebis, da die Beträge ja gleich sind:
[mm] a_n=\bruch{1}{(2n)!}
[/mm]
[mm] a_{n+1}=\bruch{1}{(2n+2)!}
[/mm]
[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right|
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(2n+2)!}{(2n)!}
[/mm]
...
[mm] =\infty
[/mm]
x konvergiert für
[mm] x=\pm\infty
[/mm]
Sind beide Aufgaben so richtig gelöst?
Danke und besten Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 So 31.08.2008 | | Autor: | Framl |
> Für welche reellen Zahlen x konvergieren die folgenden
> Reihen:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n*\bruch{x^{2n}}{(2n!)}[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^{2n}}{(2n!)}[/mm]
> Ich habe mir zur ersten Reihe erstmal
> [mm]a_n=\bruch{(-1)^n}{(2n)!}[/mm]
>
> [mm]a_{n+1}=\bruch{(-1)^{n+1}}{(2n+2)!}[/mm]
>
> aufgeschrieben.
>
> dann
>
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right|[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(2n+2)!}{(2n)!}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(2n)!(2n+1)(2n+2)}{(2n)!}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}4n^2+6n+2[/mm]
>
> [mm]=\infty[/mm]
>
> x konvergiert für
> [mm]x=\pm\infty[/mm]
>
Eigentlich müsstest du dir [mm] $y=x^2$ [/mm] definieren, damit du eine Potenzreihe der Form [mm] $\sum a_n\cdot y^n$ [/mm] hast und das Konvergenzkriterium so anwenden kannst, wie du es tust. In der Aufgabe steht im Nenner $(2n!)$
in deiner Rechnung dagegen $(2n)!$. Wenn die Aufgabe entsprechend deiner Rechnung gestellt war, ist sie fast richtig.
Damit wäre (wie oben gesagt) [mm] $y\in (-\infty,\infty),$ [/mm] also darf auch [mm] $x\in (-\infty,\infty)$ [/mm] sein, da dann [mm] $y=x^2\in [0,\infty)\subset (-\infty,\infty)$ [/mm] liegt.
> Für die 2te Reihe bekomme ich das gleiche Ergebis, da die
> Beträge ja gleich sind:
>
> [mm]a_n=\bruch{1}{(2n)!}[/mm]
>
> [mm]a_{n+1}=\bruch{1}{(2n+2)!}[/mm]
>
>
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right|[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(2n+2)!}{(2n)!}[/mm]
>
> ...
>
> [mm]=\infty[/mm]
>
> x konvergiert für
> [mm]x=\pm\infty[/mm]
>
>
> Sind beide Aufgaben so richtig gelöst?
>
Ja, denn wenn $x$ im Konvergenzradiusbereich liegt, ist die Reihe sogar absolut konvergent. Damit bräuchte man auch garnicht mehr rechnen.
Achja: Es heißt nicht [mm] $x=\pm\infty$ [/mm] sondern [mm] $x\in (-\infty,\infty)$ [/mm] - also für alle $x$ 
> Danke und besten Gruß,
> tedd
Gruß Framl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:14 So 31.08.2008 | | Autor: | tedd |
> Eigentlich müsstest du dir [mm]y=x^2[/mm] definieren, damit du eine
> Potenzreihe der Form [mm]\sum a_n\cdot y^n[/mm] hast und das
> Konvergenzkriterium so anwenden kannst, wie du es tust. Danke für die Anwtort Framl.
Okay dann weis ich bescheid
> In
> der Aufgabe steht im Nenner [mm](2n!)[/mm]
> in deiner Rechnung dagegen [mm](2n)![/mm]. Wenn die Aufgabe
> entsprechend deiner Rechnung gestellt war, ist sie fast
> richtig.
Sorry, das war ein Schreibfehler,
in der Aufgabenstellung sollte es auch
(2n)! heissen.
> Damit wäre (wie oben gesagt) [mm]y\in (-\infty,\infty),[/mm] also
> darf auch [mm]x\in (-\infty,\infty)[/mm] sein, da dann [mm]y=x^2\in [0,\infty)\subset (-\infty,\infty)[/mm]
> liegt.
>
>
> Ja, denn wenn [mm]x[/mm] im Konvergenzradiusbereich liegt, ist die
> Reihe sogar absolut konvergent. Damit bräuchte man auch
> garnicht mehr rechnen.
>
> Achja: Es heißt nicht [mm]x=\pm\infty[/mm] sondern [mm]x\in (-\infty,\infty)[/mm]
> - also für alle [mm]x[/mm]
>
> > Danke und besten Gruß,
> > tedd
>
> Gruß Framl
Danke für die Antwort, 
Gruß,
tedd
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