2 Fragen zu Abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Sa 14.01.2012 | | Autor: | miff |
| Aufgabe 1 | Die Abbildung ("Phi") : IR2 --> IR 2 werde hinsichtlich der kanonischen Basis E beschrieben durch die [mm] Matrix \begin{pmatrix}
1 & -2 \\
0 & 3
\end{pmatrix}. [/mm]
Frage: Welchen Vektor bildet die Abbildung ("Phi") auf den Vektor {1 [mm] \choose [/mm] -1} ab? |
| Aufgabe 2 | Der Abbildung IR2--> IR2 sei hinsichtlich der Basis B = [mm] \begin{Bmatrix}
-2 & -2 \\
1 & 2
\end{Bmatrix} [/mm]
die Matrix AB [mm] \begin{Bmatrix}
1 & 0 \\
3 & 0
\end{Bmatrix} [/mm] zugeordnet. Geben Sie die Matrix AE an, die der Abbildung hinsichtlich der kanonischen Basis E zugeordnet ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen!
Aufgabe 1: Kann mir jemand bei dieser Sache helfen und evtl. erklären, was dahintersteckt? Ich habe eine Vermutung, (Gleichstellen?) allerdings bin ich mir nicht sicher, was dabei am Ende rumkommt.
Aufgabe 2: Zielt ungefähr auf dasselbe ab, schätze. Was passiert hier?
Danke schonmal im Voraus für eure Hilfe.
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moin miff,
Bei Aufgabe 1 ist gleichsetzen schonmal eine ganz gute Idee.
Es ist ein $x [mm] \in \IR^2$ [/mm] gesucht, mit [mm] $\pmat{1 & -2 \\ 0 & 3}x [/mm] = [mm] \vektor{ 1 \\ -1}$. [/mm]
Erinnert dich so eine Gleichung an irgendetwas (Stichwort: Gauß)?
Bei der zweiten Aufgabe gibt es verschiedene Methoden.
Ich persönlich würde dir raten so vorzugehen:
$f( [mm] \vektor{-2 \\ 1} [/mm] ) = [mm] \vektor{1 \\ 3}$
[/mm]
$f( [mm] \vektor{-2 \\ 2} [/mm] ) = [mm] \vektor{0 \\ 0}$
[/mm]
Berechnen sollst du $f( [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] )$ sowie $f( [mm] \vektor{ 0 \\ 1} [/mm] )$.
Überleg dir mal, wie du aus den gegebenen Infos diese beiden mithilfe der Tatsache, dass $f$ linear ist, berechnen kannst.
Du kannst dann entweder ein wenig rumprobieren (das dürfte in diesem Fall noch machbar sein), oder du stellst systematisch ein Gleichungssystem auf und löst dieses.
Sollte es noch Fragen geben immer her damit.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Mo 16.01.2012 | | Autor: | miff |
Hallo Shadow,
erstmal vielen lieben Dank für deine (sau)schnelle Antwort.
Ich komme mal mit Ergebnissen:
Für Aufgabe 1 habe ich : x1 = 1/3 ; x2 = -1/3
Für Aufgabe 2 habe ich : [mm] \begin{pmatrix}
5 & 6 \\
-5/2 & -3
\end{pmatrix}
[/mm]
Kannst du das bestätigen?
Des Weiteren habe ich noch eine Frage zu den Ergebnissen, weil ich grundsätzlich ja verstehen will, was ich da tue 
Zu Aufgabe a: Sofern "Mein" Ergebnis dort richtig ist, was ist das hier jetzt genau für ein Vektor? Wenn ich die gegeben Vektoren und Matrixen aufzeichne (Was ja im IR2 noch geht) dann sehe ich nicht so ganz den Zusammenhang zwischen den gegebenen Sachen und dem Ergebnis. Oder gibt es da keinen Zusammenhang, den man zeichnerisch deutlich machen kann?
Zu Aufgabe b: Auch hier frage ich mich, was das Ergebnis konkret aussagt. Auch bin ich mir hier nicht ganz sicher, was der Tipp bzgl. der linearen Abhängigkeit aussagt, da ich das in meiner Berechnung nicht beachtet habe (Vielleicht ist das Ergebnis ja auch komplett falsch). Ich habe in einem Buch allerdings folgende Formel gefunden, nach der ich das Ergebnis berechnet habe: A* = T^-1 * A * T
Ich wäre dir sehr dankbar, wenn du mir hier nochmal kurz auf die Sprünge helfen könntest.
Danke vielmals,
Miff
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> Hallo Shadow,
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> erstmal vielen lieben Dank für deine (sau)schnelle
> Antwort.
>
> Ich komme mal mit Ergebnissen:
>
> Für Aufgabe 1 habe ich : x1 = 1/3 ; x2 = -1/3
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Für Aufgabe 2 habe ich : [mm]\begin{pmatrix}
5 & 6 \\
-5/2 & -3
\end{pmatrix}[/mm]
Hmm, nicht ganz.
Da kommt [mm] $\pmat{8 & 8 \\ -7 & -7}$ [/mm] raus.
Dass dein Ergebnis falsch ist könntest du zum Beispiel daran sehen, dass [mm] $\vektor{-2 \\ 2}$ [/mm] auf den Nullvektor abgebildet werden soll; und dies ändert sich auch bei Basiswechsel nicht, denn der Nullvektor ist unabhängig von der jeweiligen Basis.
An dieser Tatsache sieht man schonmal, dass die erste und zweite Spalte der Matrix übereinstimmen müssen.
> Ich
> habe in einem Buch allerdings folgende Formel gefunden,
> nach der ich das Ergebnis berechnet habe: A* = T^-1 * A * T
Die Formel stimmt so weit.
Wenn du hier [mm] $B^{-1}*A*B$ [/mm] berechnest kommt das richtige raus, also hast du wahrscheinlich nur einen kleinen Rechenfehler drinn.
>
> Des Weiteren habe ich noch eine Frage zu den Ergebnissen,
> weil ich grundsätzlich ja verstehen will, was ich da tue
>
Das ist natürlich lobenswert.^^
> Zu Aufgabe a: Sofern "Mein" Ergebnis dort richtig ist, was
> ist das hier jetzt genau für ein Vektor? Wenn ich die
> gegeben Vektoren und Matrixen aufzeichne (Was ja im IR2
> noch geht) dann sehe ich nicht so ganz den Zusammenhang
> zwischen den gegebenen Sachen und dem Ergebnis. Oder gibt
> es da keinen Zusammenhang, den man zeichnerisch deutlich
> machen kann?
Man kann Matrizen im 2D zeichnen?
Aber ok:
Du hast ja hoffentlich in der Schule ganz viele tolle Vektoren, mit Pfeilen an der Spitze, gemalt.
Klassischerweise war es dabei immer so:
Haben wir einen Vektor [mm] $\vektor{a \\ b}$ [/mm] gegeben, so laufen wir $a$ auf der $x-$Achse (die als Vektor die Form [mm] $\vektor{ 1 \\ 0}$ [/mm] hat) und $b$ auf der $y-$Achse (die als Vektor die Form [mm] $\vektor{0 \\ 1}$ [/mm] hat).
Dort im Koordinatensystem, wo wir dann landen, wird ein Punkt gesetzt, dieser mit dem Ursprung verbunden, es kommt ein hübscher Pfeil an die Spitze und fertig ist der Vektor.
Nun ist es zwar sehr schön auf den Achsen laufen zu können, da diese im rechten Winkel aufeinander stehen und dies (mit kariertem Papier) das Ermitteln des gesuchten Punkts recht leicht macht.
Allerdings wäre es theoretisch auch möglich, statt der $y-$Achse die Hauptwinkelhalbierende oder irgend eine andere Achse zu benutzen, auch dadurch ließe sich jeder Punkt im Koordinatensystem darstellen; nur nicht mehr so hübsch und manchmal auch nicht eindeutig (siehe unten).
Und das ist im Endeffekt das, wofür die Abbildungsmatrix hier steht:
Die $x-$Achse wird fest gelassen, aber statt der $y-$Achse wird die Achse [mm] $\vektor{-2 \\ 3}$ [/mm] genommen.
Also hast du einen Vektor [mm] $\vektor{a \\ b}$ [/mm] bezüglich der Standardbasis gegeben so sagt dir diese Matrix, dass du nun $a$ auf der $x-$Achse und $b$ auf der Achse gegeben durch den Vektor [mm] $\vektor{-2 \\ 3}$ [/mm] laufen sollst, um deinen Punkt zu bekommen.
Die Aufgabe war nun:
Haben wir nun bei $(1 | 1)$ im Koordinatensystem einen Punkt, welcher Punkt war das wirklich, bevor an den Achsen rumgespielt wurde?
Nun muss ich dich der Vollständigkeit halber noch drauf hinweisen, dass die geänderten Achsen nicht zwangsläufig ein schönes Koordinatensystem ergeben müssen.
Es könnte etwa auch eine Achse auf 0 abgebildet werden (wodurch der Anteil dieser komplett weggeschmissen wird) oder es werden beide auf die selbe Achse abgebildet (wodurch dann zB sowas wie [mm] $\vektor{a \\ -a}$ [/mm] auf einmal der Nullvektor wäre).
Das Problem haben wir im Folgenden zum Glück nicht.
> Zu Aufgabe b: Auch hier frage ich mich, was das Ergebnis
> konkret aussagt. Auch bin ich mir hier nicht ganz sicher,
> was der Tipp bzgl. der linearen Abhängigkeit aussagt, da
> ich das in meiner Berechnung nicht beachtet habe
> (Vielleicht ist das Ergebnis ja auch komplett falsch).
Hier hast du einen sogenannten Basiswechsel.
Also anschaulich wie oben:
Das Koordinatensystem ist hier gegeben durch die beiden Achsen, die in B stehen.
Freundlicherweise ist dies eine Basis, also gibt dir B wirklich das ganze Koordinatensytem (also es geht nichts auf 0, was nicht auf 0 soll).
Nun werden die Achsen von B durch die Matrix A verbogen.
Die Frage ist: Was macht die Matrix A mit den klassischen Achsen, der $x-$ und der $y-$Achse?
Dann nochmal anschaulich, wieso sich das ganze mit der Formel $A* = [mm] T^{-1} [/mm] * A * T $ berechnen lässt:
Die Matrix $A$ (als Abbildung) erwartet einen Vektor, der in der Basis $B$ dargestellt ist.
Wollen wir nun wissen, was diese Abbildung mit einem Vektor der Standardbasis macht, so müssen wir diesen erstmal als Vektor in der Basis $B$ schreiben.
Haben wir also [mm] $B^{-1}*A*B*v$ [/mm] für einen Vektor $v$ bezüglich der Standardbasis, so ist $B*v$ der Vektor bezüglich der Basis $B$, also genau das, was $A$ haben möchte.
Nun bildet $A$ munter ab und gibt einen Vektor bezüglich der Basis $B$ zurück.
Wir wollen aber ein Ergebnis in der Standardbasis, also müssen wir das Umwandeln in die Basis $B$ wieder umkehren; dies geschieht gerade durch [mm] $B^{-1}$.
[/mm]
Also hast du einen Vektor $v$ bzgl. der Standardbasis und eine Basis $B$ in Matrixschreibweise gegeben, so ist $B*v$ der Vektor $v$, geschrieben in der Basis $B$.
Haben wir auf der anderen Seite einen Vektor $w$ bezüglich der Basis $B$ gegeben, so ist [mm] $B^{-1}*w$ [/mm] der Vektor bzgl. der Standardbasis.
Diesen Zusammenhang zwischen einer Basis und ihrer Matrixschreibweise ist sehr nett und falls du den noch nicht kennst würde ich dir raten, ihn dir an ein paar Beispielen klar zu machen.
Allerdings geht das nur zur Standardbasis und zurück, möchtest du also von einer Basis $B$ zu einer Basis $C$, so musst du den Umweg über die Standardbasis nehmen.
Es gibt noch ein paar andere Möglichkeiten und noch etwas kompliziertere Basiswechsel, aber ich würde dir aus eigener Erfahrung raten immer den Umweg über die Standardbasis zu nehmen, einfach weil dann meist noch halbwegs klar ist, was man gerade tut.
So, ich hoffe das ist nicht zu viel Text geworden.^^
Sollten noch Fragen offen sein immer her damit.
lg
Schadow
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