251-Sylow-Gruppe in S_2008 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 So 30.03.2008 | | Autor: | nukthem |
| Aufgabe | | Geben Sie eine 251-Sylow-Gruppe in [mm]S_{2008}[/mm] an und bestimmen Sie ihre Struktur. |
Hallo!
Um die o.g. Aufgabe zu lösen, habe ich zunächst einmal die Ordnung der 251-Sylow-Gruppen in [mm]S_{2008}[/mm] bestimmt:
[mm]|S_{2008}|=2008!=m*251*(2*251)*\ldots*(8*251)=m*8!*251^8[/mm] für ein geeignetes [mm]m \in \mathbb{Z}[/mm] und ggT(m,251)=1.
Also haben die 251-Sylow-Gruppen in [mm]S_{2008}[/mm] alle die Ordnung [mm]251^8[/mm].
Mein Problem besteht nun darin, wie ich die Struktur einer solchen 251-Sylow-Gruppe bestimmen kann.
Ich könnte mir vorstellen, dass man um eine solche Gruppe anzugeben deren Erzeuger nennt. Nur ist sind das alles relativ große Zahlen, um mal eben ein paar Zyklen hinzuschreiben und auszuprobieren eine Untergruppe der Ordnung [mm]251^8[/mm] zu erzeugen.
Kann mir jemand einen Tip geben, wie ich bei dieser Aufgabe weiter vorgehen könnte?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:38 Mo 31.03.2008 | | Autor: | statler |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Geben Sie eine 251-Sylow-Gruppe in [mm]S_{2008}[/mm] an und
> bestimmen Sie ihre Struktur.
> Um die o.g. Aufgabe zu lösen, habe ich zunächst einmal die
> Ordnung der 251-Sylow-Gruppen in [mm]S_{2008}[/mm] bestimmt:
> [mm]|S_{2008}|=2008!=m*251*(2*251)*\ldots*(8*251)=m*8!*251^8[/mm]
> für ein geeignetes [mm]m \in \mathbb{Z}[/mm] und ggT(m,251)=1.
> Also haben die 251-Sylow-Gruppen in [mm]S_{2008}[/mm] alle die
> Ordnung [mm]251^8[/mm].
Nimm die Aufgabe doch erstmal genau so, wie der Text das sagt. Es wird eine 251-Sylow-Gruppe gesucht. Da wir ihre Ordnung kennnen, können wir sie uns zusammenbasteln. Wir teilen die Zahlen bis 2008 in 8 disjunkte Zyklen der Länge 251. Was ist das Erzeugnis dieser 8 Elemente? Genau!
Nächste Frage: Wie sehen die anderen 251-Sylow-Gruppen aus?
Letzte Frage (noch ohne Antwort): Wie viele gibt es?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Mo 31.03.2008 | | Autor: | nukthem |
> Hi und
>
Danke :)
> Nimm die Aufgabe doch erstmal genau so, wie der Text das
> sagt. Es wird eine 251-Sylow-Gruppe gesucht. Da wir ihre
> Ordnung kennnen, können wir sie uns zusammenbasteln. Wir
> teilen die Zahlen bis 2008 in 8 disjunkte Zyklen der Länge
> 251. Was ist das Erzeugnis dieser 8 Elemente? Genau!
Da 2008 = 8 * 251, kann ich genau 8 disjunkte Zyklen der Länge 251 bilden:
[mm] z_1:=(1,2,\ldots,251),\ldots,z_8:=(1758,1759,\ldots,2008)[/mm]
Jeder dieser 8 Zyklen hat die Ordnung 251, weil ich jeweils jede Zahl auf ihren Nachfolger modulo 251 abbilde. Also:
[mm] ||=251 \quad \forall i=1,\ldots,8[/mm]
Weil diese Zyklen disjunkt sind, haben die von ihnen erzeugten Untergruppen nur die Identität als gemeinsames Element. Also hat das direkte Produkt von [mm]z_1,\ldots,z_8 \quad 251^8[/mm] Elemente.
Kurz: [mm][/mm] ist eine 251-Sylow Gruppe von [mm]S_{2008}[/mm].
> Nächste Frage: Wie sehen die anderen 251-Sylow-Gruppen
> aus?
Nach den Sylow-Sätzen sind alle 251-Sylow-Gruppen konjugiert zueinander.
> Letzte Frage (noch ohne Antwort): Wie viele gibt es?
>
Diese Fragestellung scheint etwas schwerer zu sein :)
> Gruß aus HH-Harburg
> Dieter
Gruß zurück und danke für die Antwort.
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