2-facher Differentialquotient? < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Di 04.01.2011 | | Autor: | Vilietha |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR->\IR [/mm] zweimal stetig di fferenzierbar.
Zeigen Sie dass f''(x) = lim [mm] \bruch{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2} [/mm] , [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR. [/mm]
Geben Sie noch ein Beispiel einer nicht di fferenzierbaren Funktion, für die der Grenzwert
in (1) stets existiert. |
Hallo zusammen,
Habe hier leider keine wirkliche Idee, wie ich diese Aufgabe lösen kann.
Möglicherweise über einen zweifachen Differentialquotienten?
Ein offizieller Tipp im Tutorium war, dass man die Aufgabe über die Taylorreihe/Taylorformel lösen kann. (Was Sinn machen würde, da wir gerade die Taylorreihen behandelt haben). Habe hier allerdings keine Idee, wie ich dies hier tun sollte.
Freue mich über jede Hilfe.
Viele Grüße,
Vilietha
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 Di 04.01.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
entwickle f(x+h) in ein Taylorreihe bis zur 2'ten Ordnung und f(x-h) ebenso. Dann addiere beide Gleichungen und Du siehst die Lösung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:38 Di 04.01.2011 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Ullim,
Vielen Dank für deine schnelle und hilfreiche Antwort. :)
Werde nun deinen Hinweisen folgen, und es so probieren.
Vielen Grüße,
Vilietha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Di 04.01.2011 | | Autor: | Vilietha |
Ich habe es nun so probiert, wie du vorgeschlagen hast. Allerdings sehe ich die Lösung leider nicht, welche mir prophezeit wurde.
Die Taylorreihen um den Entwicklungspunkt [mm] x_0 [/mm] bis zum zweiten Grad lauten:
[mm] f(x+h)\approx T_2(x+h)=f(x_0+h)+f'(x_0+h)(x-x_0)+\bruch{1}{2}f''(x_0+h)(x-x_0)^2
[/mm]
[mm] f(x-h)\approx T_2(x-h)=f(x_0-h)+f'(x_0-h)(x-x_0)+\bruch{1}{2}f''(x_0-h)(x-x_0)^2
[/mm]
Die Summe der beiden Gleichungen, wie vorgeschlagen wurde, lautet dann:
[mm] f(x+h)+f(x-h)\approx T_2(x+h)-T_2(x-h)=
[/mm]
[mm] f(x_0+h) [/mm] + [mm] f(x_0-h) +(f'(x_0+h)+f'(x_0-h))(x-x_0) +\bruch{1}{2}(f''(x_0+h)+f''(x_0-h))(x-x_0)^2
[/mm]
Aber was siehst du hier, was ich nicht sehe?
Oder sehen die beiden Taylorreihen bereits anders aus, als die, an welche du gedacht hast?
Bezüglich Teil 2 der Aufgabe habe ich folgende Funktion als Beispiel gefunden:
f(x)=|x|
Denn diese Betragsfunktion ist ja nicht differenzierbar bei x=0, aber der fragliche Grenzwert existiert ja überall, auch bei x=0.
Sehe ich das richtig?
Viele Grüße,
Vilietha
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Hallo Vilietha,
> Ich habe es nun so probiert, wie du vorgeschlagen hast.
> Allerdings sehe ich die Lösung leider nicht, welche mir
> prophezeit wurde.
>
> Die Taylorreihen um den Entwicklungspunkt [mm]x_0[/mm] bis zum
> zweiten Grad lauten:
> [mm]f(x+h)\approx T_2(x+h)=f(x_0+h)+f'(x_0+h)(x-x_0)+\bruch{1}{2}f''(x_0+h)(x-x_0)^2[/mm]
>
> [mm]f(x-h)\approx T_2(x-h)=f(x_0-h)+f'(x_0-h)(x-x_0)+\bruch{1}{2}f''(x_0-h)(x-x_0)^2[/mm]
Hier hast Du das richtige gemeint, aber nicht ganz richtig aufgeschrieben;
[mm]f(x+h)\approx T_{2}\left(x_{0}+h\right)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x_{0}+h-x_{0})+\bruch{1}{2}f''(x_{0})(x_{0}+h-x_{0})^2[/mm]
[mm]f(x-h)\approx T_{2}\left(x_{0}-h\right)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x_{0}-h-x_0)+\bruch{1}{2}f''(x_{0}-h)(x_{0}-h-x_0)^2[/mm]
Und jetzt kannst Du die Summe der beiden Gleichungen bilden.
>
> Die Summe der beiden Gleichungen, wie vorgeschlagen wurde,
> lautet dann:
>
> [mm]f(x+h)+f(x-h)\approx T_2(x+h)-T_2(x-h)=[/mm]
> [mm]f(x_0+h)[/mm] +
> [mm]f(x_0-h) +(f'(x_0+h)+f'(x_0-h))(x-x_0) +\bruch{1}{2}(f''(x_0+h)+f''(x_0-h))(x-x_0)^2[/mm]
>
> Aber was siehst du hier, was ich nicht sehe?
> Oder sehen die beiden Taylorreihen bereits anders aus, als
> die, an welche du gedacht hast?
>
>
> Bezüglich Teil 2 der Aufgabe habe ich folgende Funktion
> als Beispiel gefunden:
> f(x)=|x|
> Denn diese Betragsfunktion ist ja nicht differenzierbar
> bei x=0, aber der fragliche Grenzwert existiert ja
> überall, auch bei x=0.
> Sehe ich das richtig?
>
> Viele Grüße,
> Vilietha
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Di 04.01.2011 | | Autor: | Vilietha |
Hallo MathePower,
Vielen Dank für deine Antwort.
In den beiden Taylorreihen von dir kommt ja gar keine freie Variable (x) mehr vor. Und was mich auch noch irritiert ist das Approximationszeichen [mm] (\approx) [/mm] in den beiden Gleichungen. Immerhin soll ja eine Gleichung mit einem Gleichheitszeichen (=) bewiesen werden.
Viele Grüße,
Vilietha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Di 04.01.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
[mm] f(x+h)=f(x)+f'(x)*h+\bruch{1}{2}f''(x)*h^2+R(h)
[/mm]
[mm] f(x-h)=f(x)-f'(x)*h+\bruch{1}{2}f''(x)*h^2+Q(h)
[/mm]
mit den Restgliedern R(h) und Q(h) also
[mm] \br{f(x+h)+f(x-h)-2*f(x)}{h^2}=f''(x)+\br{R(h)+Q(h)}{h^2}
[/mm]
jetzt den Grenzwert für [mm] h\to0 [/mm] berechnen und fertig
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:37 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Vilietha |
Vielen Dank Ullim.
Dies kann ich nun nachvollziehen.
Viele Grüße,
Vilietha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:47 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Vilietha |
Was die gesuchte Beispielfunktion betrifft, so bin ich nun zu dem Schluss gekommen, dass die Betragsfunktion f(x)=|x| hier nicht in Frage kommt, da der Grenzwert um den es geht bei x=0 doch nicht exisiert.
Denn bei x=0 haben wir:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h)+f(-h)-2f(0)}{h^2}=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{2h}{h^2} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Habe stattdessen aber nun folgende Funktion gefunden:
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x=0 \\ sin(1/x) , & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
Da exisiert der Grenzwert, da wir hier ja f(x)=-f(-x) haben.
Viele Grüße,
Vilietha
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