2-dimensionaler inv.Unterraum < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 Sa 26.04.2008 | | Autor: | howtoadd |
| Aufgabe | Sei die lineare Abbildung f : [mm] \IR [/mm] ³ ---> [mm] \IR [/mm] ³ gegeben durch die Matrix
1 1 0
1 0 1
0 1 1
bezüglich der kanonischen Basis. Können Sie einen 2- dimensionalen f- invarienten Unterraum U [mm] \subset \IR [/mm] ³ zu finden? |
hallo leute,
ich weiß nicht, wie ich an diese aufgabe rangehen soll! habt ihr vllt irgendwelche ideen und tipps?!
danke im voraus für jede hilfe!
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du sollst einen Unterraum der Dimension 2 finden, in der f so ausschaut, dass alle Vektoren, die aus diesem 2-Dimensionalen Unterraum kommen, auch wieder in den Unterraum abgebildet werden. Dafür helfen Eigenwerte, und die JNF.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Sa 26.04.2008 | | Autor: | howtoadd |
erstmal dankeschön für die antwort!
aber ich komme nicht genau damit klar, also kann damit noch nicht viel anfangen, kann man das irgendwie ausführlicher erklären, das wär ganz toll!
lieben gruß!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
berechne mal die Eigenwerte der Matrix, d.h. das char. Polynom. Das kann man dann als [mm] (\lambda_1-\lambda)^{r_1}*...*(\lambda_n-\lambda)^{r_n}
[/mm]
Dann berechne mal die Kerne der Matrix [mm] (A-\lambda_i)^{r_i}. [/mm] Dabei sollte dann wohl einer rauskommen, der die Dimension 2 hat. Das ist dann wohl der invariante Unterraum. Denn dadurch hast du dann eine direkte Summenzerlegung deines [mm] $\IR^3$, [/mm] und der ist f-Invariant.
So einen Satz solltet ihr aber in der Vorlesung gehabt haben, der so etwas aussagt.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Sa 26.04.2008 | | Autor: | howtoadd |
also ich komme irgendwie nicht weiter,
ich hab jetzt das char. polynom ausgerechnet und komme auf:
x³ - 2x² - x +2
die eigenwerte sind:
-1, 1, 2
aber wieso soll ich jetzt den kern dieser matrix jetzt rechnen? also wofür brauchte ich jetzt das char. polynom?
und ich kenne das nur so, dass man von der matrix ausgehend die basis normal berechnet mit gaußschen elim. oder soll ich mit den werten von eben weiter rechnen?
wenn ja, wie geht das?
danke schon mal im voraus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
okay, die Matrix ist also Diag-bar.
Dann wähle doch einen 2-Dim Untervektorraum des [mm] $\IR^3$, [/mm] der aus zwei der Eigenvektoren besteht. Dann kannst du die Matrix transformieren in eine Basis, die aus Eigenvektoren besteht. Wenn du dann Vektoren nimmst, die aus dem Unterraum, der aus zwei Eigenvektoren besteht, hernimmst, dann werden alle Vektoren des Unterraums auf den selben Unterraum abgebildet, d.h. die Vektoren sind dann f-invariant.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:11 Mo 28.04.2008 | | Autor: | howtoadd |
dankeschön erstmal!
ich werde jetzt es versuchen nochmal zu machen!
lieben gruß
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