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(1/x)^(1/x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:43 Di 25.08.2009
Autor: GreatBritain

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
Ableitung der Funktion:
$$f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}, x \rightarrow (\frac{1}{x})^{\frac{1}{x}}$$

hi
es geht um obige Funktion, deren Ableitung mir Probleme bereitet.

Ich schreib jetzt einfach mal, wie ich mir die Ableitung Schritt für Schritt zusammengebastelt habe:

Für $a^x$ ist die Ableitung $a \ln(x)$.
Meine Ableitung beginnt also mit:
$$\frac{1}{x} \cdot \ln(\frac{1}{x}) = -\frac{1}{x} \cdot \ln x$$
Den Exponenten muss ich denke ich noch nachdifferenzieren, also:
$$\frac{1}{x} \cdot \ln x \cdot \frac{-1}{x^2}$$
Und zuletzt die Basis nachdifferenzieren, Gesamtergebnis ist also:
$$\frac{1}{x} \cdot \ln x \cdot \frac{1}{x^4}$$

So, irgendetwas ist daran fundamental falsch, denn als Ergebnis ist folgende Lösung angegeben:
$$(\frac{1}{x})^{\frac{1}{x}+2} \cdot (\ln x - 1})$$

Diese "doppelte Verkettung" hats in sich, hier liegt denke ich der Fehler, und ich wäre für Hilfe und Erklärung SEHR dankbar :-)
Gruß GB

        
Bezug
(1/x)^(1/x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:52 Di 25.08.2009
Autor: statler


> Ableitung der Funktion:
>  [mm]f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}, x \rightarrow (\frac{1}{x})^{\frac{1}{x}}[/mm]

Mahlzeit!

>  es geht um obige Funktion, deren Ableitung mir Probleme
> bereitet.
>  
> Ich schreib jetzt einfach mal, wie ich mir die Ableitung
> Schritt für Schritt zusammengebastelt habe:
>  
> Für [mm]a^x[/mm] ist die Ableitung [mm]a \ln(x)[/mm].

Das ist schon mal nicht so. [mm] a^x [/mm] ist [mm] e^{x*lna} [/mm]

Gruß aus HH-Harburg
Dieter

Bezug
        
Bezug
(1/x)^(1/x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:58 Di 25.08.2009
Autor: angela.h.b.


> Ableitung der Funktion:
>  [mm]f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}, x \rightarrow (\frac{1}{x})^{\frac{1}{x}}[/mm]

Hallo,

Du kommst hier bequem  zum Ziel, wenn Du Dir f(x)= [mm] (\frac{1}{x})^{\frac{1}{x}} [/mm]  als e-Funktion schreibst.

Es   ist [mm] \frac{1}{x}=e^{\ln (\frac{1}{x})}=e^{-ln(x)}, [/mm] so daß Du hast  [mm] f(x)=e^{-\frac{1}{x}\ln (x)}. [/mm]

Gruß v. Angela



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(1/x)^(1/x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:58 Mo 14.09.2009
Autor: a_la_fin

Hallo Angela,

ich habe ehrlich gesagt ein bisschen gebraucht, um die Umformulierung nachzuvollziehen, aber jetzt habe ich sie verstanden und möchte die Aufgabe nun auch mit diesem Ansatz lösen. Leider bin ich nicht zum richtigen Ergebnis gekommen.
mein Lösungsansatz (mit der Kettenregel) ist folgender:
f'(x) = [mm] \bruch{ln(x)-1}{x^2}\*exp(\bruch{-ln(x)}{x}) [/mm]
aber dann komme ich leider nicht wirklich weiter...
wäre nett wenn jemand den Ansatz korrigieren oder mir sagen würde wie ich da weitermachen muss.

Grüße

Bezug
                        
Bezug
(1/x)^(1/x): fast fertig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:03 Di 15.09.2009
Autor: Roadrunner

Hallo a_la_fin!


Du bist (eigentlich) fertig. Um auf das o.g. Ergebnis zu kommen, musst Du wieder ersetzen:
[mm] $$\exp\left(-\bruch{\ln(x)}{x}\right) [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{1}{x}\right)^{\bruch{1}{x}}$$ [/mm]
Anschließend mittels MBPotenzgesetzen zusammenfassen.


Gruß vom
Roadrunner


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Bezug
(1/x)^(1/x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:17 Di 15.09.2009
Autor: a_la_fin

Danke! Ich war gerade eben auch selber auf die richtige Lösung gekommen, aber ich habe umständlicher umformuliert.

Bezug
        
Bezug
(1/x)^(1/x): logarithmisches Differenzieren
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:03 Di 25.08.2009
Autor: Roadrunner

Hallo GreatBritain!


Hier bietet sich auch logarithmisches Differenzieren an. Dafür wird zunächst auf beiden Seiten der Funktionsvorschrift der natürliche Logarithmus [mm] $\ln(...)$ [/mm] angewandt.

$$y \ = \ [mm] \left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{x}}$$ [/mm]
[mm] $$\ln(y) [/mm] \ = \ [mm] \ln\left[\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{x}}\right]$$ [/mm]
[mm] $$\ln(y) [/mm] \ = \ [mm] \frac{1}{x}*\ln\left(\frac{1}{x}\right)$$ [/mm]
[mm] $$\ln(y) [/mm] \ = \ [mm] -\frac{1}{x}*\ln(x)$$ [/mm]
[mm] $$\ln(y) [/mm] \ = \ [mm] -\frac{\ln(x)}{x}$$ [/mm]

Nun auf beiden Seiten differenzieren (unter Beachtung der MBKettenregel auf der linken Seite).


Gruß vom
Roadrunner


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Bezug
(1/x)^(1/x): Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:11 Mo 14.09.2009
Autor: a_la_fin

Hallo,

ich kenne die Kettenregel und kann sie eigentlich auch anwenden, habe aber leider trotzdem nicht verstanden wie ich sie hier auf der linken Seite, also auf das ln y anwenden muss??

Danke schonmal

Bezug
                        
Bezug
(1/x)^(1/x): Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:18 Mo 14.09.2009
Autor: Roadrunner

Hallo a_la_fin,

[willkommenmr] !!


Die Ableitung von [mm] $\ln(y)$ [/mm] nach der Variablen $x_$ beträgt:

[mm] $$\left[ \ \ln(y) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{y}*y' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y'}{y}$$ [/mm]

Gruß vom
Roadrunner


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Bezug
(1/x)^(1/x): Danke :-)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:28 Di 25.08.2009
Autor: GreatBritain

Vielen Dank, jetzt hats geklappt.

Nicht richtig Lesen können gepaart mit Ungeschicktheit ist natürlich ne ungünstige Kombi ;-)

Aber Fehler sind zum Lernen da, und jetzt hab ichs verstanden :-)

Dankende Grüße, GB

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