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Forum "Folgen und Reihen" - 1/ n hoch k
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1/ n hoch k: konvergent?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:41 Fr 29.12.2006
Autor: jumape

Die Reihe ( Summe über n=1 bis unéndlich) 1/(n hoch k)

Für welche k ist diese REihe konvergent, divergent?
Hat das über haupt was mit k zu tun?

Schon im voraus vielen Dank.

ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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1/ n hoch k: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:54 Fr 29.12.2006
Autor: baufux

Probiers doch mal mit dem Quotientenkriterium.

Für k = 1 bekommst du die harmonische Reihe, die ist divergent, habe ich heute schon in einem anderen Post bewiesen, also einfach mal danach suchen.

Für k = 2 bekommst du die geometrische Reihe, die ist konvergent, siehe Quotientenkriterium.

Würde dann sagen für k [mm] \ge [/mm] 2 Konvergent und für k [mm] \le [/mm] 1 divergent. Dies kann man mit entsprechenden Majoranten und Minoranten (die obigen beiden Reihen) leicht zeigen.

Fall k nicht ganzzahlig sein muss, muss man sich natürlich noch was für den bereich zwischen 1 und 2 überlegen.

MfG Baufux

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1/ n hoch k: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:15 Fr 29.12.2006
Autor: blascowitz

Guten Abend.

Also [mm] \bruch{1}{n^{k}} [/mm] divergiert für [mm] k\le [/mm] 1 und konvergiert für k>1.
Begründung ist das Integralkriterium für Reihen

Sei f(x) eine monoton fallende Funktion die auf dem Intervall [mm] [p,\infty[ [/mm] definiert ( p ist eine ganze Zahl)ist und nur Positive Werte annimmt. in diesem Fall ist p=1.
Dann konvergiert die Summe
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] f(n) genau dann wenn das Integral [mm] \integral_{1}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] einen endlichen Wert annimmt.
Das funktioniert eben bei [mm] \bruch{1}{n^{k}} [/mm] nur für k>1. Kannst ja mal probieren.

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1/ n hoch k: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:30 Sa 30.12.2006
Autor: jumape

Danke schön.

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