1/f(x) anhand von f(x) zeichne < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:54 Do 02.10.2008 | | Autor: | UNR8D |
| Aufgabe | Eine gebrochen-rationale Funktion f hat für x-> +- [mm] \infty [/mm] den Grenzwert 2, genau einen Extrempunkt (1|-3/4), keine Polstelle sowie genau zwei Nullstellen x1=0 und x2=2.
a) Zeichne den Graphen von f.
b) Die Funktion g sei definiert durch g(x) = 1/f(x). Skizziere den Graphen von g mit in das Koordinatensystem von a). |
Hi,
Aufgabe a) ist ja kein großes Problem.
Allerdings fehlt mir grad völlig der Ansatz zur Aufgabe b), da ich einen solchen Aufgabentyp noch nie hatte.
Muss ich anhand der gegebenen Werte irgendwie die Gleichung für f(x) erschließen oder müsste mir das Grenzwertverhalten, Nullstellen und Extrempunkte für g(x) sofort klar werden ?
Ich bitte um einen Ansatz ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:59 Do 02.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo UNR8D!
Du kannst es teilwiese anghand der Funktionswerte erkennen sowie auch dem bereits gezeichneten Funktionsgraph.
Was aber z.B. schnell klar sein sollte, dass die beiden Nullstellen von $f(x)_$ Polstellen von $g(x)_$ sind.
Gruß
Loddar
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Hallo UNR8D,
> Eine gebrochen-rationale Funktion f hat für x-> +- [mm]\infty[/mm]
> den Grenzwert 2, genau einen Extrempunkt (1|-3/4), keine
> Polstelle sowie genau zwei Nullstellen x1=0 und x2=2.
> a) Zeichne den Graphen von f.
> b) Die Funktion g sei definiert durch g(x) = 1/f(x).
> Skizziere den Graphen von g mit in das Koordinatensystem
> von a).
> Hi,
> Aufgabe a) ist ja kein großes Problem.
Was hast du denn für f(x) heraus?
Doch wohl "einen  Bruchterm", oder?
Überlege: was ist denn der Kehrwert eines (Zahlen-)Bruchs?
> Allerdings fehlt mir grad völlig der Ansatz zur Aufgabe b),
> da ich einen solchen Aufgabentyp noch nie hatte.
> Muss ich anhand der gegebenen Werte irgendwie die
> Gleichung für f(x) erschließen oder müsste mir das
> Grenzwertverhalten, Nullstellen und Extrempunkte für g(x)
> sofort klar werden ?
>
> Ich bitte um einen Ansatz ;)
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Do 02.10.2008 | | Autor: | UNR8D |
Danke schonmal für die Antworten!
Also ich bin davon ausgegangen, dass ich keinen konkreten Term für f(x) finden soll, sondern den Graphen nur anhand der gegeben Punkte grob zeichnen soll und aus diesem sowie den Punkten dann erschließen soll wie die wichtigen Punkte von g(x) liegen.
Mir ist klar, dass ich für g(x) quasi Nenner und Zähler vertauschen muss und folgich g(x) an den Nullstellen von f(x) nicht definiert ist.
Allerdings wird mir leider absolut nicht klar, was mir das verhalten gegen Unendlich oder das Extremum über g(x) sagen sollen.
Wenn ich versuche den Term für f(x) zu finden hörts leider nach Einbringung der Nullstelle und [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] bei sowas wie (2x²-4x)/x² auf. Der Graph der da rauskommt hat auch noch nicht viel mit dem richtigen zu tun *g*.
Wie ich die Polstelle aufheben kann und v.a. das Extremum richtig mit reinbekomme hab ich noch nicht so recht rausgefunden.
Soll also heissen ich komme weder bei der Bestimmung von f(x) noch beim "Schätzen" der Punkte von g(x) recht weiter ;o
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Hallo UNR8D,
> Danke schonmal für die Antworten!
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> Also ich bin davon ausgegangen, dass ich keinen konkreten
> Term für f(x) finden soll, sondern den Graphen nur anhand
> der gegeben Punkte grob zeichnen soll und aus diesem sowie
> den Punkten dann erschließen soll wie die wichtigen Punkte
> von g(x) liegen.
>
das erscheint nicht unplausibel.
> Mir ist klar, dass ich für g(x) quasi Nenner und Zähler
> vertauschen muss und folgich g(x) an den Nullstellen von
> f(x) nicht definiert ist.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Allerdings wird mir leider absolut nicht klar, was mir das
> verhalten gegen Unendlich oder das Extremum über g(x) sagen
> sollen.
naja, wenn [mm] f(x)\rightarrow2 [/mm] geht, dann wird wohl [mm] \bruch{1}{f(x)}\rightarrow\bruch{1}{2} [/mm] gelten, oder?
>
> Wenn ich versuche den Term für f(x) zu finden hörts leider
> nach Einbringung der Nullstelle und
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] bei sowas wie (2x²-4x)/x² auf.
> Der Graph der da rauskommt hat auch noch nicht viel mit dem
> richtigen zu tun *g*.
> Wie ich die Polstelle aufheben kann und v.a. das Extremum
> richtig mit reinbekomme hab ich noch nicht so recht
> rausgefunden.
>
> Soll also heissen ich komme weder bei der Bestimmung von
> f(x) noch beim "Schätzen" der Punkte von g(x) recht weiter
> ;o
Du kennst noch den Extrempunkt [mm] f(1)=-\bruch{3}{4} \Rightarrow g(1)=-\bruch{4}{3}
[/mm]
Auch die Ableitung [mm] g'(x)=(\bruch{1}{f(x)})' [/mm] kannst du bilden: Quotientenregel
und daraus auf einen Extrempunkt schließen.
Dann sollte die Skizze allmählich möglich sein: trag zunächst die Polstellen und die waagerechte Aymptote ein.
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 Do 02.10.2008 | | Autor: | UNR8D |
Au weh, da sitz ich Ewigkeiten dort und zermarter mir den Kopf über irgendwelche Funktionsterme, versuche wild Punkte zu schätzen und dann ist das ganze so simpel :).
Ich denke jetzt sollte der Graph kein Problem mehr sein.
Vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Do 02.10.2008 | | Autor: | weduwe |
eine frage dazu:
wäre das in etwa richtig wie im bilderl??
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Do 02.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Nein. Was Du gezeichnet hast (in blau) ist die Umkehrfunktion von f im Bereich [1, [mm] \infty).
[/mm]
Wahrscheinlich hast Du 1/f mit [mm] f^{-1} [/mm] verwechselt
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:53 Fr 03.10.2008 | | Autor: | weduwe |
> Nein. Was Du gezeichnet hast (in blau) ist die
> Umkehrfunktion von f im Bereich [1, [mm]\infty).[/mm]
> Wahrscheinlich hast Du 1/f mit [mm]f^{-1}[/mm] verwechselt
>
> FRED
igitt, ja natürlich
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Do 02.10.2008 | | Autor: | UNR8D |
Ich weis echt nicht was heute los ist aber diese Aufgabe macht mich glaub ich noch wahnsinnig.. Ich hab mich jetzt wahrscheinlich schon so lange damit beschäftigt dass ich langsam gar nix logisches mehr sehe.
Also ich kenne jetzt die waagrechte Asymptote bei 1/2,
den Punkt (1|-4/3),
die Polstellen an x=0 und x=2
und für den Extrempunkt müsste nach Anwenden der Quotientenregel gelten 0=-f'(x)
Ich glaub ich könnte jetzt noch ne Stunde auf das Blatt starren und mir würde nichts mehr sinnvolles einfallen. So gequält hat mich jedenfalls schon lange keine Aufgabe mehr *g*. Ich befürchte zwar dass es so logisch und simpel weitergeht wie bisher aber trotzdem muss ich nochmal um Hilfe bitten. Ich muss diese Aufgabe heute noch bezwingen sonst find ich keine Ruhe *g*
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Hi, UNR8D,
> Also ich kenne jetzt die waagrechte Asymptote bei 1/2,
> den Punkt (1|-4/3),
der ein Extrempunkt ist, da f'(1)=0 ist und daraus - wie Du sicher bemerkt hast - auch g'(1) = 0 folgt.
> die Polstellen an x=0 und x=2
> und für den Extrempunkt müsste nach Anwenden der
> Quotientenregel gelten 0=-f'(x)
siehe oben!
Weiter: Die Funktion f hat keine Pole, daher hat g keine Nullstellen, schneidet die x-Achse nicht.
Daher gilt: Der Extrempunkt (1; -4/3) muss ein HOCHpunkt sein, denn er liegt zwischen den beiden Polen unterhalb der x-Achse.
Nun ist die Aufgabe sicher nicht eindeutig lösbar, aber folgende Funktion erfüllt sämtliche Voraussetzungen für f:
f(x) = [mm] \bruch{2x(x-2)}{x^{2}+5/3}
[/mm]
und somit g(x) = [mm] \bruch{x^{2}+5/3}{2x(x-2)}
[/mm]
Sizzier' mal die zugehörigen Graphen!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:58 Do 02.10.2008 | | Autor: | UNR8D |
Nun, das war ne schwere Geburt aber letztendlich hab ichs jetzt doch vollständig verstanden :)
Auf sone sache wie keine Polstelle => keine Nullstelle müsste man natürlich schon von selbst kommen, aber heut ging mit logisch denken bei mir einfach gar nichts *g*
Nunja jedenfalls nochmal vielen Dank euch allen :)
Schönen Feiertag und schönes Wochenende wünsch ich
UNR8D
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