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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - 1 Eigenwert
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1 Eigenwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:45 Mo 05.07.2010
Autor: Olga1234

Aufgabe
wir sollen eine 2x2 matrix der gestalt [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] finden, die nur einen eigenwert hat und a + b + c + d = 2 ergibt.

leider finde ich keine matrix, die überhaupt nur einen eigenwert hat. hat da jemand einen tipp für mich?

        
Bezug
1 Eigenwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:04 Mo 05.07.2010
Autor: qsxqsx

Hallo,

Hm, weisst du den wie man Eigenwerte (aus einer Matrix bei gegeben Zahlen) bestimmt?
Antwort: mit dem charakteristischen Polynom...

det(A - [mm] \lambda*I) [/mm] = 0

Ist [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert der Matrix, so ist [mm] \lambda [/mm] eine Nullstelle im charakteristischen Polynom.

Du kannst nun einfach "rückwärts" gehen.


Gruss

Bezug
                
Bezug
1 Eigenwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:17 Mo 05.07.2010
Autor: Olga1234

kann man davon ausgehen, dass bei einer 2x2-matrix mit 1 eigenwert, die beiden eigenvektoren die gleichen sind?

Bezug
                        
Bezug
1 Eigenwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:49 Mo 05.07.2010
Autor: fred97


> kann man davon ausgehen, dass bei einer 2x2-matrix mit 1
> eigenwert, die beiden eigenvektoren die gleichen sind?

Nein

FRED

Bezug
                
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1 Eigenwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:35 Mo 05.07.2010
Autor: Olga1234

es würde doch dann heißen, dass das charakteristische polynom die form:

[mm] \lambda^{2} [/mm] hat.

dh:

[mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] (a - [mm] \lambda)(d-\lambda) [/mm] - [mm] a\lambda [/mm] - [mm] d\labda+ \lambda^{2} [/mm] - bc = [mm] \lambda^{2} [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] (a - [mm] \lambda)(d-\lambda) [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow a-\lambda \vee d-\lambda [/mm] = 0
[mm] a\lambda [/mm] = [mm] -d\lambda [/mm]
ad = bc

aber auf ne lösung komm ich trotzdem nicht, zumindest keine wo a+b+c+d=2 ist



Bezug
                        
Bezug
1 Eigenwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:48 Mo 05.07.2010
Autor: fred97


> es würde doch dann heißen, dass das charakteristische
> polynom die form:
>  
> [mm]\lambda^{2}[/mm] hat.
>  
> dh:
>  
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] (a - [mm]\lambda)(d-\lambda)[/mm] - [mm]a\lambda[/mm] - [mm]d\labda+ \lambda^{2}[/mm]
> - bc = [mm]\lambda^{2}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] (a - [mm]\lambda)(d-\lambda)[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow a-\lambda \vee d-\lambda[/mm]
> = 0
>  [mm]a\lambda[/mm] = [mm]-d\lambda[/mm]
> ad = bc
>  
> aber auf ne lösung komm ich trotzdem nicht, zumindest
> keine wo a+b+c+d=2 ist


Was Du da oben gerechnet hast ist mir schleierhaft !

Denk mal an die Einheitsmatrix

FRED

>  
>  


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