1/(1+2n) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Brokando |
| Aufgabe | Man untersuche auf Konvergenz und bestimme ggf. den Grenzwert:
(1a) 1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 +... (Nenner wächst jeweils um 2) |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe bisher folgendes herausgefunden:
an = [mm] \bruch{1}{1+2n}
[/mm]
an ist eine Nullfolge, da der Zähler gegen Unendlich geht.
Jetzt habe ich versucht die Konvergenz mit dem Quotientenkriterium zu untersuchen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{1+2(n+1)}}{\bruch{1}{1+2n}} [/mm] = [mm] \bruch{1+2n}{1+2(n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{1+2n}{3+2n} [/mm]
geteilt durch n = 1
also keine Konvergenz feststellbar mit dem Quotientenkrit. oder?
Jetzt weiß ich leider nicht weiter..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Mo 20.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Man untersuche auf Konvergenz und bestimme ggf. den
> Grenzwert:
> (1a) 1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 +... (Nenner wächst jeweils um
> 2)
> Hallo,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe bisher folgendes herausgefunden:
>
> an = [mm]\bruch{1}{1+2n}[/mm]
>
> an ist eine Nullfolge, da der Zähler gegen Unendlich
> geht.
Nein, der Nenner tut das !
>
> Jetzt habe ich versucht die Konvergenz mit dem
> Quotientenkriterium zu untersuchen:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{1+2(n+1)}}{\bruch{1}{1+2n}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1+2n}{1+2(n+1)}[/mm] = [mm]\bruch{1+2n}{3+2n}[/mm]
>
> geteilt durch n = 1
Was meinst Du damit ????
Ja, es ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{1+2(n+1)}}{\bruch{1}{1+2n}}=1
[/mm]
>
> also keine Konvergenz feststellbar mit dem Quotientenkrit.
> oder?
So ist es.
>
> Jetzt weiß ich leider nicht weiter..
Finde a>0 so, dass [mm] a_n \ge \bruch{a}{n} [/mm] für alle n ist.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Brokando |
> > Man untersuche auf Konvergenz und bestimme ggf. den
> > Grenzwert:
> > (1a) 1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 +... (Nenner wächst jeweils
> um
> > 2)
> > Hallo,
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
> > Ich habe bisher folgendes herausgefunden:
> >
> > an = [mm]\bruch{1}{1+2n}[/mm]
> >
> > an ist eine Nullfolge, da der Zähler gegen Unendlich
> > geht.
>
> Nein, der Nenner tut das !
Meinte ich doch ;)
> >
> > Jetzt habe ich versucht die Konvergenz mit dem
> > Quotientenkriterium zu untersuchen:
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{1+2(n+1)}}{\bruch{1}{1+2n}}[/mm]
> > = [mm]\bruch{1+2n}{1+2(n+1)}[/mm] = [mm]\bruch{1+2n}{3+2n}[/mm]
> >
> > geteilt durch n = 1
>
> Was meinst Du damit ????
ich meinte durch n teilen:
[mm] \bruch{1/n+2n/n}{3/n+2n/n} [/mm] = [mm] \bruch{1/n+2}{3/n+2}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1/n+2}{3/n+2} [/mm] = 2/2 = 1
>
> Ja, es ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{1+2(n+1)}}{\bruch{1}{1+2n}}=1[/mm]
>
> >
> > also keine Konvergenz feststellbar mit dem Quotientenkrit.
> > oder?
>
> So ist es.
>
Schon mal gut das bestätigt zu bekommen ;)
>
> >
> > Jetzt weiß ich leider nicht weiter..
>
> Finde a>0 so, dass [mm]a_n \ge \bruch{a}{n}[/mm] für alle n ist.
>
Gibts noch nen Stichwort? Ich stehe irgendwie immer noch auf dem Schlauch :(
> FRED
>
Grüße und Danke bis hier,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Mo 20.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Du betrachtest hier die folgende Reihe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n [/mm] mit [mm] a_n=\bruch{1}{1+2n}
[/mm]
Wir behaupten, dass diese Reihe divergiert,
deshalb verwenden wir das Minorantenkriterium.
Finde also eine Folge [mm] b_n [/mm] mit [mm] a_n\ge b_n [/mm] für fast alle $n$ mit der Eigenschaft,
dass die Reihe [mm] \summe b_n [/mm] divergiert.
Tipp: Harmonische Reihe.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Brokando |
Hallo,
ja genau daran habe ich auch gedacht.. aber ich weiß nicht wie ich wie ich beweisen soll, dass [mm] \bruch{1}{1+2n} \ge \bruch{1}{n} [/mm] ist..
Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 Mo 20.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hi,
> Hallo,
>
> ja genau daran habe ich auch gedacht.. aber ich weiß nicht
> wie ich wie ich beweisen soll, dass [mm]\bruch{1}{1+2n} \ge \bruch{1}{n}[/mm]
> ist..
Es muss nicht genau [mm] \frac{1}{n} [/mm] rauskommen.
[mm] \summe\alpha*\frac{1}{n}=\alpha*\summe\frac{1}{n} [/mm] divergiert auch für [mm] \alpha>0
[/mm]
Es ist ganz einfach.
Trau dich ruhig 
> Grüße,
>
> Marcel
DieAcht
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:41 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Brokando |
> Hi,
>
>
> > Hallo,
> >
> > ja genau daran habe ich auch gedacht.. aber ich weiß nicht
> > wie ich wie ich beweisen soll, dass [mm]\bruch{1}{1+2n} \ge \bruch{1}{n}[/mm]
> > ist..
>
> Es muss nicht genau [mm]\frac{1}{n}[/mm] rauskommen.
>
> [mm]\summe\alpha*\frac{1}{n}=\alpha*\summe\frac{1}{n}[/mm]
> divergiert auch für [mm]\alpha>0[/mm]
bedeutet das, dass ich einfach die Harmonische Reihe mit z.B. [mm] \frac{1}{3} [/mm] Multiplizieren muss/kann (also [mm] \alpha=\frac{1}{3}), [/mm] um
[mm] \frac{1}{3}\cdot{}\summe\frac{1}{n} [/mm] = [mm] \summe \frac{1}{3}\cdot{}\frac{1}{n} [/mm] = [mm] \summe \frac{1}{3n}
[/mm]
zu bekommen und somit
[mm] \summe \bruch{1}{1+2n} \ge \summe \frac{1}{3n} [/mm] für [mm] n\not=0
[/mm]
?
Das für [mm] n\not=0 [/mm] brauche ich garnicht, weil bei n=1 gestartet wird, oder?
Tut mir leid, dass ich so viel Mühe mache..
>
> Es ist ganz einfach.
>
> Trau dich ruhig
>
> > Grüße,
> >
> > Marcel
>
>
> DieAcht
Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Mo 20.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> > Hi,
> >
> >
> > > Hallo,
> > >
> > > ja genau daran habe ich auch gedacht.. aber ich weiß nicht
> > > wie ich wie ich beweisen soll, dass [mm]\bruch{1}{1+2n} \ge \bruch{1}{n}[/mm]
> > > ist..
> >
> > Es muss nicht genau [mm]\frac{1}{n}[/mm] rauskommen.
> >
> > [mm]\summe\alpha*\frac{1}{n}=\alpha*\summe\frac{1}{n}[/mm]
> > divergiert auch für [mm]\alpha>0[/mm]
>
> bedeutet das, dass ich einfach die Harmonische Reihe mit
> z.B. [mm]\frac{1}{3}[/mm] Multiplizieren muss/kann (also
> [mm]\alpha=\frac{1}{3}),[/mm] um
>
> [mm]\frac{1}{3}\cdot{}\summe\frac{1}{n}[/mm] = [mm]\summe \frac{1}{3}\cdot{}\frac{1}{n}[/mm]
> = [mm]\summe \frac{1}{3n}[/mm]
>
> zu bekommen und somit
>
> [mm]\summe \bruch{1}{1+2n} \ge \summe \frac{1}{3n}[/mm] für
> [mm]n\not=0[/mm]
>
> ?
>
> Das für [mm]n\not=0[/mm] brauche ich garnicht, weil bei n=1
> gestartet wird, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Es gilt:
[mm] \frac{1}{1+2n}\ge\frac{1}{3n} [/mm] für fast alle n.
Weißt du denn was mit "fast alle" gemeint ist?
> Tut mir leid, dass ich so viel Mühe mache..
Alles gut. Was ist nun die Folgerung?
> >
> > Es ist ganz einfach.
> >
> > Trau dich ruhig
> >
> > > Grüße,
> > >
> > > Marcel
> >
> >
> > DieAcht
>
> Grüße,
>
> Marcel
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:19 Di 21.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> >
> >
> >
> > Es gilt:
> >
> > [mm]\frac{1}{1+2n}\ge\frac{1}{3n}[/mm] für fast alle n.
> >
> > Weißt du denn was mit "fast alle" gemeint ist?
>
> Fast alle bedeutet "alle bis auf endlich viele".. also wenn
> ich das richtig verstanden habe, alle bis auf abzählbar
> viele Ausnahmen.
das rotmarkierte Wort solltest Du durch ein "endlich" ersetzen - abzählbar
viele Ausnahmen ist zuviel des Guten.
Ich mach's mal formal: Eine Aussage [mm] $A(n)\,$ [/mm] ($n [mm] \in [/mm] I,$ wobei [mm] $I\,$ [/mm] eine Indexmenge sei)
heißt "wahr für fast alle $n [mm] \in [/mm] X$", wenn gilt:
Die Menge
[mm] $\{m \in I:\;\;A(m) \text{ ist }\textbf{nicht }\text{ wahr}\}$ [/mm]
ist endlich.
Einfaches Beispiel:
Sei [mm] $I:=\left\{-\frac{1}{2},\;-\frac{1}{3},\;\ldots,-\frac{1}{137}\right\} \cup [0,\infty)$ [/mm] und
[mm] $A(x):\,$ [/mm] Es ist $x > [mm] r\,.$
[/mm]
Dabei ist $r [mm] \in \IR$ [/mm] eine feste Zahl.
Falls [mm] $r\;\le\;0,$ [/mm] dann ist [mm] $A(x)\,$ [/mm] wahr für fast alle $x [mm] \in [/mm] I.$
Falls [mm] $r\;>\;0\,,$ [/mm] dann darf man nicht sagen, dass [mm] $A(x)\,$ [/mm] wahr wäre für fast alle [mm] $x\,.$
[/mm]
Beispiele:
Falls [mm] $r=0\,$ [/mm] ist, so ist
[mm] $\{x \in I:\;\;\text{ es gilt }\textbf{nicht } x > 0\}=\{x \in I:\;\;\x \le 0\}=\left\{-\frac{1}{2},\;-\frac{1}{3},\;\ldots,-\frac{1}{137}\right\} \cup \{0\}$
[/mm]
eine endliche Menge.
Falls [mm] $r=1\,$ [/mm] ist, so ist
[mm] $[0,1]\;\subseteq\;\{x \in I:\;\;\text{ es gilt }\textbf{nicht } x > 0\}=\{x \in I:\;\;\x \le 0\}$
[/mm]
und daher kann [mm] $\{x \in I:\;\;\text{ es gilt }\textbf{nicht } x > 0\}$ [/mm] nicht endlich sein.
(P.S. Eine Menge heißt endlich, falls sie endlich viele Elemente enthält.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:30 Di 21.01.2014 | | Autor: | Marcel |
P.S. Nur mal ein weiteres Beispiel: Ist
[mm] $u\;>\;1$ [/mm] beliebig, aber fest,
so gilt
[mm] $\frac{1}{n} \le \frac{1}{u}$
[/mm]
für fast alle $n [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Denn:
[mm] $\frac{1}{n} [/mm] > [mm] \frac{1}{u}$
[/mm]
[mm] $\iff$ [/mm] $n < [mm] u\,.$
[/mm]
Und da nur endlich viele natürliche Zahlen $< [mm] u\,$ [/mm] sein können...
Gruß,
Marcel
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hallo Marcel,
> Hallo,
>
> ja genau daran habe ich auch gedacht.. aber ich weiß nicht
> wie ich wie ich beweisen soll, dass [mm]\bruch{1}{1+2n} \ge \bruch{1}{n}[/mm]
> ist..
Diese Ungleichung stimmt nicht! Bsp: n=5, dann haben wir [mm] 1/11\ge1/5
[/mm]
Richtig: [mm] \bruch{1}{1+2n}\le\bruch{1}{n}
[/mm]
Wenn du diese Vermutung hast, dann forme schlicht und ergreifend um:
[mm] \bruch{1}{1+2n}\le\bruch{1}{n}, [/mm] mit [mm] n\in\IN
[/mm]
Wir bilden zunächst den Kehrwert (bedenke, dass sich da das Relationszeichen umdreht):
[mm] 1+2n\ge{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 1+n\ge0
[/mm]
Diese Ungleichung stimmt natürlich. Damit hättest du die Behauptung gezeigt.
>
> Grüße,
>
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 Di 21.01.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo Richie,
> [mm]\bruch{1}{1+2n}\le\bruch{1}{n},[/mm] mit [mm]n\in\IN[/mm]
>
> Wir bilden zunächst den Kehrwert (bedenke, dass sich da
> das Relationszeichen umdreht):
>
> [mm]1+2n\ge{n}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 1+n\ge0[/mm]
>
> Diese Ungleichung stimmt natürlich. Damit hättest du die
> Behauptung gezeigt.
Die Ungleichung stimmt, aber damit ist überhaupt nichts gezeigt. Was willst Du aus einer divergenten Majorante folgern?
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 Di 21.01.2014 | | Autor: | Richie1401 |
Hi reverend,
für die ursprüngliche Frage ist in der Tat absolut gar nix gezeigt.
Die Frage war ja aber in dem Post zu meiner Antwort wie man diese Ungleichung zeigen könnte. Ich habe geantwortet, weil
1. die angegebene Ungleichung war falsch und
2. ich hatte den Eindruck, dass es nicht klar war, wie man solche Ungleichungen zeigen kann.
Daher meine Antwort spezielle auf die Frage:
"aber ich weiß nicht wie ich wie ich beweisen soll, dass $ [mm] \bruch{1}{1+2n} \ge \bruch{1}{n} [/mm] $ ist.. "
Liebe Grüße!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Di 21.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo DermitdemgleichenNamenwieich ,
> Hallo,
>
> ja genau daran habe ich auch gedacht.. aber ich weiß nicht
> wie ich wie ich beweisen soll, dass [mm]\bruch{1}{1+2n} \ge \bruch{1}{n}[/mm]
das wäre nicht möglich: Da jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] auch $n [mm] \ge [/mm] 1$ und damit $n > [mm] 0\,$ [/mm] erfüllt,
zudem ist dann auch $1+2n > [mm] 0\,,$ [/mm] gilt
$1/(1+2n) [mm] \ge [/mm] 1/n$
[mm] $\iff$ [/mm] $n [mm] \ge [/mm] 1+2n$
[mm] $\iff$ [/mm] $n [mm] \le -1\,.$
[/mm]
Für $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $1/(1+2n) [mm] \ge [/mm] 1/n$ würde also insbesondere notwendig
$n [mm] \le [/mm] -1$
gelten - was unmöglich ist...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Di 21.01.2014 | | Autor: | abakus |
> Man untersuche auf Konvergenz und bestimme ggf. den
> Grenzwert:
> (1a) 1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 +... (Nenner wächst jeweils um
> 2)
> Hallo,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe bisher folgendes herausgefunden:
>
> an = [mm]\bruch{1}{1+2n}[/mm]
Hallo,
das ist nur dann richtig, wenn bei dir die natürlichen Zahlen mit "0" beginnen.
Wenn sie mit 1 beginnen, ist der erste Summand nämlich nicht 1, sondern 1/3 (also dein zweiter Summand).
Aber das nur nebenbei.
Es gilt
1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 +... > 1/2 + 1/4 + 1/6+ 1/8+...
=0,5*(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4+...)
Der Klammerinhalt divergiert (harmonische Reihe).
Gruß Abakus
>
> an ist eine Nullfolge, da der Zähler gegen Unendlich
> geht.
>
> Jetzt habe ich versucht die Konvergenz mit dem
> Quotientenkriterium zu untersuchen:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{1+2(n+1)}}{\bruch{1}{1+2n}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1+2n}{1+2(n+1)}[/mm] = [mm]\bruch{1+2n}{3+2n}[/mm]
>
> geteilt durch n = 1
>
> also keine Konvergenz feststellbar mit dem Quotientenkrit.
> oder?
>
> Jetzt weiß ich leider nicht weiter..
|
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:47 Di 21.01.2014 | | Autor: | reverend |
Guten Abend,
> > Man untersuche auf Konvergenz und bestimme ggf. den
> > Grenzwert:
> > (1a) 1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 +... (Nenner wächst jeweils
> um
> > 2)
> >
> > Ich habe bisher folgendes herausgefunden:
> >
> > an = [mm]\bruch{1}{1+2n}[/mm]
>
> Hallo,
> das ist nur dann richtig, wenn bei dir die
> natürlichen Zahlen mit "0" beginnen.
> Wenn sie mit 1 beginnen, ist der erste Summand nämlich
> nicht 1, sondern 1/3 (also dein zweiter Summand).
> Aber das nur nebenbei.
Das kann man ja leicht auf mindestens zwei verschiedene Arten beheben - eben durch Einführung von [mm] a_0 [/mm] - oder besser durch die explizite Darstellung [mm] a_n=\bruch{1}{2n-1}
[/mm]
Dann nämlich gilt sogar [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{n}=\bruch{1}{2n}\le\bruch{1}{2n-1}
[/mm]
Das Minorantenkriterium spiegelt sich dann so:
[mm] \br{1}{2}\summe_{n=1}^{\infty}\br{1}{n}\le\summe_{n=1}^{\infty}\br{1}{2n-1}
[/mm]
> Es gilt
> 1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 +... > 1/2 + 1/4 + 1/6+ 1/8+...
> =0,5*(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4+...)
> Der Klammerinhalt divergiert (harmonische Reihe).
Grüße
reverend
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