(1 + 1/n)^n abgeschlossen ?? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:27 Mo 09.05.2005 | | Autor: | baddi |
Hi zusammen.
d(x, y) = |x - y| ist Metrik.
M := [mm] \left\{(-1)^n (1 + \bruch{1}{n})^n; n 2 N ; n \in \IN \right\}
[/mm]
Was ist der Abschluss von M?
Ich habe erkannt, dass
(1 + [mm] \bruch{1}{n})^n [/mm] der Exponentialexponent = exp(1) = [mm] e^1 [/mm] ist.
Oder ?
Dann ist dass doch was konvergentes - nich ?
[mm] e^1 [/mm] ist doch eine Zahl .... ähm hüstel.
Oder wie mach ich da ran...
Also danke für Tips, kleine Wink, oder auch große ;)
:)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:15 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Sebastian$
[mm] $\overline{M}$, [/mm] der Abschluss von $M$, besteht aus den Elementen von $M$ und deren Häufungspunkten, also den Grenzwerten geeigneter Teilfolgen.
Nun hast du richtig erkannt, dass
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n=e$
[/mm]
gilt.
Daher gilt:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} (-1)^{2n} \left( 1 + \frac{1}{2n} \right)^{2n} [/mm] = e$
und
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} (-1)^{2n+1} \left( 1 + \frac{1}{2n+1} \right)^{2n+1} [/mm] = -e$,
und wir erhalten:
[mm] $\overline{M} [/mm] = M [mm] \cup \{e,-e\}$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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