1D Wärmegleichung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:06 Do 26.02.2015 | | Autor: | Hias |
| Aufgabe | Wir betrachten die Wellengleichung [mm] \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} [/mm] - [mm] \frac{\partial u}{\partial t}=0, [/mm] dabei beschreibt u die Temperatur
a) Finden Sie eine Lösug [mm] u:[0,L]\times \mathbb{R}+ \rightarrow \mathbb{R} [/mm] des RWP´s:
[mm] \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} [/mm] - [mm] \frac{\partial u}{\partial t}=0
[/mm]
[mm] u(x,0)=u_0(x)
[/mm]
u(0,t)=u(L,t)=0 t > 0
mit [mm] u_0 \in C^2([0,L]), u_0(0)=u_0(L)=0 [/mm] und L>0
b) Die Temperatur u entlang eines Stabes der Länge L sei mit der PDG modelliert. Zeigen Sie, dass die die Funktion u(x,t) mit [mm] t\rightarrow\infty [/mm] gleichmäßig konvergiert.
Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass die Fourierkoeffizienten einer Hölder-stetigen Funktion absolut konvergiert. |
Die a haben wir gelöst mit [mm] u(x,t)=\summe_{i=1}^{\infty}a_n*\sin(\frac{\pi*n}{L} *x)*\exp(-(\frac{\pi*n}{L})^2*t) [/mm] , wobei [mm] a_n=\frac{2}{L}\integral_{0}^{L}{u_0(x)*\sin(\frac{\pi*n}{L}*x)dx}
[/mm]
Bei b haben wir keine Ahnung wie wir ansetzten sollen und wie das t [mm] \rightarrow [/mm] inf benutzt wird. Wir kennen es nur so, dass man Funktionenfolgen definiert und den index n laufen lässt, wie man t benutzt verstehen wir nicht.
Könnte uns jemand einen Ansatz geben?
Vielen Dank im Voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:49 Do 26.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Wir betrachten die Wellengleichung [mm]\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}[/mm]
> - [mm]\frac{\partial u}{\partial t}=0,[/mm] dabei beschreibt u die
> Temperatur
> a) Finden Sie eine Lösug [mm]u:[0,L]\times \mathbb{R}+ \rightarrow \mathbb{R}[/mm]
> des RWP´s:
> [mm]\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}[/mm] - [mm]\frac{\partial u}{\partial t}=0[/mm]
>
> [mm]u(x,0)=u_0(x)[/mm]
> u(0,t)=u(L,t)=0 t > 0
> mit [mm]u_0 \in C^2([0,L]), u_0(0)=u_0(L)=0[/mm] und L>0
> b) Die Temperatur u entlang eines Stabes der Länge L sei
> mit der PDG modelliert. Zeigen Sie, dass die die Funktion
> u(x,t) mit t [mm]\rightarrow[/mm] ínf gleichmäßig konvergiert.
> Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass ie
> Fourierkoeffizienten einer Hölder-stetigen Funktion
> absolut konvergiert.
>
> Die a haben wir gelöst mit [mm]u(x,t)=\summe_{i=1}^{inf} a_n sin(\frac{\pi*n}{L} *x)*exp(-(\frac{\pi*n}{L})^2*t)[/mm]
> , wobei [mm]a_n[/mm] =
> [mm]\frac{2}{L}\integral_{0}^{L}{u_0(x)*sin(\frac{\pi*n}{L}*x)dx}[/mm]
>
> Bei b haben wir keine Ahnung wie wir ansetzten sollen und
> wie das t [mm]\rightarrow[/mm] inf benutzt wird. Wir kennen es nur
> so, dass man Funktionenfolgen definiert und den index n
> laufen lässt, wie man t benutzt verstehen wir nicht.
> Könnte uns jemand einen Ansatz geben?
Vielleicht, wenn mir jemand sagt, was
t [mm]\rightarrow[/mm] inf
bedeutet . Steht das so in der Aufgabenstellung ?
FRED
>
> Vielen Dank im Voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:51 Do 26.02.2015 | | Autor: | Hias |
Hallo Fred,
ja das war ein Tippfehler
es sollte natürlich t [mm] \rightarrow \infty [/mm] heißen, danke für den Hinweis.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:19 Fr 27.02.2015 | | Autor: | Vidane |
Der Ansatz für die gleichmäßige Konvergenz wäre folgendes:
[mm] \(\lim\limits_{t \to \infty}\sup_{x \in [0,L]} ||u(x,t)-g(x)||=0\), [/mm] wobei g(x) der Grenzwert von u(x,t) ist.
Mein Ansatz wäre, den physikalischen Mittelwert als Grenzwert zu nehmen, d.h. [mm] g(x)=\frac{1}{L} \int_{0}^{L} u_0(x) [/mm] dx und nun den oberen Ausdruck auf 0 zu bringen.
Jedoch tue ich mir da auch gerade schwer, die Rechnung durchzuführen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 Fr 27.02.2015 | | Autor: | chrisno |
Ich wundere mich über u(0,t)=u(L,t)=0 t > 0
Das heißt doch, dass die Temperatur an den Enden immer null ist.
Physikalisch würde ich dann für $t [mm] \to \infty$ [/mm] erwarten, dass dann für den ganzen Stab t = 0 gilt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Sa 28.02.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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