1. Mittelwertsatz < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
nun betrachte ich gerade den Beweis des 1. Mittelwertsatzes.
Dafür nimmt man ja eine Hilfsfunktion h: I [mm] \to \IR, [/mm] die durch
h(x) := f(x) - [mm] \bruch{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) [/mm] für jedes x [mm] \in [/mm] I definiert ist.
Wie kommt man denn gerade auf diese Definition? Einfach nur so, damit man dann h(a) = h(b) hat?
Danke,
Anna
|
|
| |
|
Hallo Anna!
Für den Beweis des Mittelwertsatzes willst du ja den Satz von Rolle benützen. Wenn du jetzt deine Funktion betrachtest, gilt [mm]h(a) = h(b) = f(a)[/mm], also bist du genau in dieser Situation.
Wie man letztendlich darauf kommt, erst den relativ einfach zu zeigenden Satz von Rolle zu beweisen und dann damit den Mittelwertsatz zu beweisen, ist gerade das, was die Mathematik zur Kunst macht: Kreativität und viel, viel Erfahrung. Da heißt es wohl einfach von anderen lernen.
Wenn es dir jetzt aber nur um die Prüfung geht und du dir die Funktion nicht im Kopf merken kannst (zumindest mir geht es so). Ich habe nur das erste Fragment im Kopf
$h(x) = f(x) - (x-a) [mm] \cdot [/mm] r$. Dann kannst du den Rest einfach herleiten: $h(a) = f(a)$ und $f(a) = h(b) = f(b) - (b - a) [mm] \cdot [/mm] r$. Gleichsetzen der beiden Gleichungen liefert dir direkt $f(a) = f(b) - (b-a) [mm] \cdot [/mm] r$. Auflösen ergibt dann $r = [mm] \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. [/mm] Oder man "wurschtelt" sich die Funktion einfach im Kopf zusammen, wenn man ungefähr weiß, wie sie aussieht.
Gruß!
PS: Vielleicht fällt noch jemand etwas Klügeres ein 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Do 20.09.2007 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo subclasser,
vielen Dank für Deine Antwort!
> Für den Beweis des Mittelwertsatzes willst du ja den Satz
> von Rolle benützen. Wenn du jetzt deine Funktion
> betrachtest, gilt [mm]h(a) = h(b) = f(a)[/mm], also bist du genau in
> dieser Situation.
Genau, das habe ich so auch erkannt.
> Wie man letztendlich darauf kommt, erst den relativ
> einfach zu zeigenden Satz von Rolle zu beweisen und dann
> damit den Mittelwertsatz zu beweisen, ist gerade das, was
> die Mathematik zur Kunst macht: Kreativität und viel, viel
> Erfahrung. Da heißt es wohl einfach von anderen lernen.
Ja, das ist wohl wahr. An Erfahrung mangelt es mir dann noch.
> Wenn es dir jetzt aber nur um die Prüfung geht und du dir
> die Funktion nicht im Kopf merken kannst (zumindest mir
> geht es so). Ich habe nur das erste Fragment im Kopf
> [mm]h(x) = f(x) - (x-a) \cdot r[/mm]. Dann kannst du den Rest
> einfach herleiten: [mm]h(a) = f(a)[/mm] und [mm]f(a) = h(b) = f(b) - (b - a) \cdot r[/mm].
> Gleichsetzen der beiden Gleichungen liefert dir direkt [mm]f(a) = f(b) - (b-a) \cdot r[/mm].
> Auflösen ergibt dann [mm]r = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}[/mm]. Oder
> man "wurschtelt" sich die Funktion einfach im Kopf
> zusammen, wenn man ungefähr weiß, wie sie aussieht.
Danke! Denke jedoch, dass ich mit dem Merken der Hilfsfunktion ansich wohl keine Probleme haben werde. Mir ging es eher darum, wenn der Prof fragen sollte, wie man denn auf diese kommt. Denn da könnte ich bisher - wie in meinem Eingangsposting erwähnt - nur sagen, dass man die halt so gewählt hat, weil bei dieser dann h(a) = h(b) ist und somit der Satz von Rolle greift. Aber vielleicht reicht das dann ja auch schon als Begründung und ich denke jetzt "zu tief" in Punkto Prüfungsfragen....
Gruß,
Anna
|
|
|
| |
|
Achso,
noch eine weitere Frage:
Wie würdet Ihr begründen, dass die Hilfsfunktion h ebenfalls stetig auf [a,b] und differenzierbar auf ]a,b[ ist?
Danke,
Anna
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Do 20.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Anna,
> Wie würdet Ihr begründen, dass die Hilfsfunktion h
> ebenfalls stetig auf [a,b] und differenzierbar auf ]a,b[
> ist?
h entsteht aus f durch Subtraktion einer linearen Funktion. Die ist stetig und differenzierbar. Und da die Summe oder Differenz stetiger/differenzierbarer Funktionen auch stetig/differenzierbar ist...
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:03 Do 20.09.2007 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Rainer,
> > Wie würdet Ihr begründen, dass die Hilfsfunktion h
> > ebenfalls stetig auf [a,b] und differenzierbar auf ]a,b[
> > ist?
>
> h entsteht aus f durch Subtraktion einer linearen Funktion.
> Die ist stetig und differenzierbar. Und da die Summe oder
> Differenz stetiger/differenzierbarer Funktionen auch
> stetig/differenzierbar ist...
>
vielen Dank!! So ähnlich dachte ich mir das auch.
Gruß,
Anna
|
|
|
| |
|
Hallo,
nach Erläuterung des 1. Mittelwertsatzes kommt in meinem Script übrigens, dass man also bemerkt, dass jedes [mm] \xi \in [/mm] ]a,b[ in der Form
[mm] \xi [/mm] = a + [mm] \theta [/mm] (b-a) mit einem [mm] \theta \in [/mm] ]0,1[
oder in der Form
[mm] \xi [/mm] = b + [mm] \theta [/mm] ' (a-b) mit einem [mm] \theta [/mm] ' [mm] \in [/mm] ]0,1[
dargestellt werden kann.
Irgendwie kann ich dem momentan nicht so ganz folgen. Könnte mir das vielleicht jemand mit anderen Worten erläutern? Wäre super nett!
Wobei mir natürlich vom Prinzip her schon klar ist, was das [mm] \theta [/mm] bewirkt (so rein geometrisch betrachtet). Praktisch ist doch dann für jedes [mm] \xi [/mm] auch das [mm] \theta [/mm] immer verschieden bei gleichem a und b.
Danke,
Anna
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Do 20.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Anna!
> nach Erläuterung des 1. Mittelwertsatzes kommt in meinem
> Script übrigens, dass man also bemerkt, dass jedes [mm]\xi \in[/mm]
> ]a,b[ in der Form
> [mm]\xi[/mm] = a + [mm]\theta[/mm] (b-a) mit einem [mm]\theta \in[/mm] ]0,1[
> oder in der Form
> [mm]\xi[/mm] = b + [mm]\theta[/mm] ' (a-b) mit einem [mm]\theta[/mm] ' [mm]\in[/mm] ]0,1[
> dargestellt werden kann.
Nimm die erste Form. Wenn du das als Funktion von [mm]\theta[/mm] für beliebige [mm]\theta\in\IR[/mm] betrachtest, dann ist das eine Gerade, die durch die Punkte (0,a) und (1,b) geht. Wenn [mm]\theta[/mm] zwischen 0 und 1 liegt, ergibt sich ein Wert zwischen a und b. Umgekehrt gibt es zu jeder Zahl zwischen a und b ein passendes [mm]\theta[/mm].
Die zweite Form entspricht der Geraden zwischen (0,b) und (1,a).
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Hallo Rainer,
> > nach Erläuterung des 1. Mittelwertsatzes kommt in meinem
> > Script übrigens, dass man also bemerkt, dass jedes [mm]\xi \in[/mm]
> > ]a,b[ in der Form
> > [mm]\xi[/mm] = a + [mm]\theta[/mm] (b-a) mit einem [mm]\theta \in[/mm] ]0,1[
> > oder in der Form
> > [mm]\xi[/mm] = b + [mm]\theta[/mm] ' (a-b) mit einem [mm]\theta[/mm] ' [mm]\in[/mm] ]0,1[
> > dargestellt werden kann.
>
> Nimm die erste Form. Wenn du das als Funktion von [mm]\theta[/mm]
> für beliebige [mm]\theta\in\IR[/mm] betrachtest, dann ist das eine
> Gerade, die durch die Punkte (0,a) und (1,b) geht. Wenn
> [mm]\theta[/mm] zwischen 0 und 1 liegt, ergibt sich ein Wert
> zwischen a und b. Umgekehrt gibt es zu jeder Zahl zwischen
> a und b ein passendes [mm]\theta[/mm].
>
> Die zweite Form entspricht der Geraden zwischen (0,b) und
> (1,a).
Danke, im Grunde habe ich es mir auch so vorgestellt. Also heißt es nichts anderes, als dass es ein [mm] \theta [/mm] (je nach [mm] \xi [/mm] verschieden) gibt, so dass [mm] \xi [/mm] ohne Abhängigkeit des Intervalls gebildet werden kann (also es ist egal ob a < b oder b < a). Das ist der Sinn dieser anderen Schreibweise. Korrekt?
Danke,
Anna
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Do 20.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Anna,
> Danke, im Grunde habe ich es mir auch so vorgestellt. Also
> heißt es nichts anderes, als dass es ein [mm]\theta[/mm] (je nach
> [mm]\xi[/mm] verschieden) gibt, so dass [mm]\xi[/mm] ohne Abhängigkeit des
> Intervalls gebildet werden kann (also es ist egal ob a < b
> oder b < a). Das ist der Sinn dieser anderen Schreibweise.
> Korrekt?
Ja, damit kann man jedes Intervall auf das Intervall [0,1] abbilden.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:10 Do 20.09.2007 | | Autor: | Anna-Lyse |
Danke Rainer.
|
|
|
| |
|
Hallo,
warum ist eigentlich h'(x) = f'(x) - [mm] \bruch{f(b)-f(a)}{b-a} [/mm] für jedes x [mm] \in [/mm] ]a,b[?
Also wo ist das (x-a) geblieben?
Danke,
Anna
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Do 20.09.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> warum ist eigentlich h'(x) = f'(x) - [mm]\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}[/mm]
> für jedes x [mm]\in[/mm] ]a,b[?
> Also wo ist das (x-a) geblieben?
Du hättest einfach mal ableiten sollen, dann hättest du es gesehen:
[mm] h(x)=f(x)-\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)=f(x)-\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}*x+\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}*a.
[/mm]
Jetzt wenn man h nach x ableitet hat man drei Summanden getrennt abzuleiten und dann aufzusummieren:
(f(x))'=f'(x),
[mm] \left(-\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}*x\right)'=-\bruch{f(b)-f(a)}{b-a},
[/mm]
[mm] \left(-\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}*a\right)'=0.
[/mm]
Der letzte Term ist eine Konstante.
Wenn man jetzt aufsummiert kommt man auf [mm] h'(x)=f'(x)-\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}.
[/mm]
Gruß,
dormant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:57 Do 20.09.2007 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo dormant,
ups, natürlich. Logisch. Du hast Recht. Darauf hätte ich echt allein kommen können. Ich sollte wohl mal Pause machen.
Danke für Deine Antwort!
Gruß,
Anna
|
|
|
| |
|
Hallo,
die Aussage des Mittelwertsatzes ist doch einfach die, dass unter den über f gemachten Voraussetzungen zur Sekante durch die Punkte [mm] \vektor{a \\ f(a)} [/mm] und [mm] \vektor{b \\ f(b)} [/mm] eine parallele Tangente existiert. Korrekt?
Gruß,
Anna
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Do 20.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Anna,
> die Aussage des Mittelwertsatzes ist doch einfach die, dass
> unter den über f gemachten Voraussetzungen zur Sekante
> durch die Punkte [mm]\vektor{a \\ f(a)}[/mm] und [mm]\vektor{b \\ f(b)}[/mm]
> eine parallele Tangente existiert. Korrekt?
Richtig.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:57 Do 20.09.2007 | | Autor: | Anna-Lyse |
Vielen Dank, Rainer.
|
|
|
|
