1-D Potential, Kreisfrequenz < Mechanik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachten Sie das eindimensionale Potential
V(x) = [mm] -\bruch{\alpha}{x}+\bruch{\beta}{x^{2}}, \alpha, \beta [/mm] > 0
für x > 0. Berechnen Sie die ersten zwei Terme der Taylor-Entwicklung des Potentials um das Minimum. Berechnen Sie anschließend die Kreisfrequenz [mm] \omega [/mm] der Schwingung eines Teilchens der Masse m bei kleinen Auslenkungen um die Ruhelage. |
Hallo,
leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter und brauche etwas Hilfe. Für den ersten Aufgabenteil habe ich bereits
[mm] P_{V}(x)=\bruch{1}{16}\bruch{\alpha^{4}}{\beta^{3}}x^{2}-\bruch{1}{4}\bruch{\alpha^{3}}{\beta^{2}}x
[/mm]
heraus bekommen.
Bei der Frage nach der Kreisfrequenz weiß ich jedoch nicht Ahnung, wie ich da ran gehen muss.
Für Hilfe wäre ich sehr dankbar!
Gruß Tim
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Hossa :)
Du hast dich vermutlich bei der Berechnung des genäherten Potentials V(x) vertan. Hast du berücksichtigt, dass man um das Minimum herum entwickeln soll? Vorgegeben ist:
[mm] $V(x)=-\frac{\alpha}{x}+\frac{\beta}{x^2}\quad;\quad\alpha,\beta,x>0$
[/mm]
Für die Taylor-Näherung werden die ersten beiden Ableitungen benötigt:
[mm] $V(x)=-\alpha x^{-1}+\beta x^{-2}$
[/mm]
[mm] $V^\prime(x)=\alpha x^{-2}-2\beta x^{-3}$
[/mm]
[mm] $V^{\prime\prime}(x)=-2\alpha x^{-3}+6\beta x^{-4}$
[/mm]
Der Entwicklungspunkt x0 soll das Minimum des Potentials sein, also gilt:
[mm] $V(x_0)=0\;\Longrightarrow\;\alpha x_0^{-2}=2\beta x_0^{-3}\;\Longrightarrow\;\alpha x_0=2\beta\;\Longrightarrow\; x_0=\frac{2\beta}{\alpha}$
[/mm]
Bezeichnen wir die Auslenkung aus dieser Ruhelage mit s, so lautet die gesuchte Taylor-Näherung:
[mm] $V(x=x_0+s)=V(x_0)+V^\prime(x_0)\,s+\frac{1}{2}V^{\prime\prime}(x_0)\,s^2$
[/mm]
Die oben bestimmte Ruhelage x0Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
eingesetzt ergibt:
$V(x_0)=-\frac{\alpha^2}{4\beta}\quad;\quad V^\prime(x_0)=0\quad;\quad V^{\prime\prime}(x_0)=\frac{\alpha^4}{8\beta^3}$
Also lautet die Näherung der Potentials für kleine Auslenkungen s aus der Ruhelage:
$V(s)\approx-\frac{\alpha^2}{4\beta}+\frac{\alpha^4}{16\beta^3}\,s^2$
Im zweiten Teil der Aufgabe soll die Kreisfrequenz ω der Schwingung bestimmt werden. Dazu berechnet man zunächst die Kraft, die auf das Objekt wirkt:
$F(s)=-\frac{dV}{ds}=-\frac{\alpha^4}{8\beta^3}\,s$
Nach dem zweiten Newton'schen Axiom gilt:
$m\ddot s=F(s)=-\frac{\alpha^4}{8\beta^3}\,s$
Zur Berechnung der Kreisfrequenz ω gehen wir mit dem einfachsten möglichen Ansatz an die Lösung der Differentialgleichung:
$s(t)=A\,e^{i\omega t}$
$\dot s(t)=i\omega A\,e^{i\omega t}=i\omega\,s(t)$
$\ddot s(t)=-\omega^2A\,e^{i\omega t}=-\omega^2\,s(t)$
Eingesetzt in die Differentialgleichung folgt:
$m\cdot(-\omega^2\,s)=-\frac{\alpha^4}{8\beta^3}\,s\quad\left|\,:s\right.$
$-m\omega^2=-\frac{\alpha^4}{8\beta^3}$
$\omega=\sqrt{\frac{\alpha^4}{8\beta^3\,m}}$
Viele Grüße
Hasenfuss
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:49 Fr 18.11.2011 | | Autor: | timgkeller |
Hey,
erstmal nen riesen Dank für deine Mühe!
Ich habe V(x) anderes als du, weil ich s = (x - [mm] \bruch{2\beta}{\alpha}) [/mm] noch ausmultipliziert habe. Aber das ist scheinbar nicht gewünscht...
Ich versuche jetzt erst mal zu verstehen, wie du vorgegangen bist und frage dann evtl. noch einmal nach!
Gruß Tim
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Hey,
also ich denke ich habe soweit alles verstanden. Jedoch finde ich nicht heraus, woher du diese Gleichung hast:
[mm]s(t)=A\,e^{i\omega t}[/mm]
Wenn du mir das noch kurz erklären könntest, wäre ich dir sehr dankbar!
Gruß Tim
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Sa 19.11.2011 | | Autor: | chrisno |
Das ist der allgemeine Ansatz für eine harmonische Schwingung. So wie die Aufgabe formuliert ist, kannst Du auch [mm]s(t)=A\,\sin(\omega t)[/mm] nehmen.
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