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(1+x)^n >= (1+nx) ?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:43 So 21.10.2007
Autor: Paul1985

Aufgabe
[mm] (1+x)^{n} \ge [/mm] (1+nx)

Frage ist mir echt peinlich, aber ich komme beim besteln Willen nicht drauf...

Mein Ansatz war mit der 1. Binomischen Formel  [mm] (a+b)^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + 2ab + [mm] b^2 [/mm]

aber hier habe ich ja ein n... :)


und dann noch...

Wieso größer-gleich? Ich meine... wenn ich doch es "anders" schreibe, dann ist es gleich und nicht größer...

        
Bezug
(1+x)^n >= (1+nx) ?: Bernoullische Ungleichung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:52 So 21.10.2007
Autor: angela.h.b.


> [mm](1+x)^{n} \ge[/mm] (1+nx)
>  Frage ist mir echt peinlich, aber ich komme beim besteln
> Willen nicht drauf...
>  
> Mein Ansatz war mit der 1. Binomischen Formel  [mm](a+b)^2[/mm] =
> [mm]a^2[/mm] + 2ab + [mm]b^2[/mm]
>  
> aber hier habe ich ja ein n... :)
>  
>
> und dann noch...
>
> Wieso größer-gleich? Ich meine... wenn ich doch es "anders"
> schreibe, dann ist es gleich und nicht größer...  

Hallo,

[mm] (1+x)^{n} \ge [/mm] (1+nx)  heißt Bernoullische Ungleichung, und sie gilt für [mm] x\ge [/mm] -1.

Für x=0 hast Du offensichtlich Gleichheit.

> Mein Ansatz war mit der 1. Binomischen Formel  [mm](a+b)^2[/mm] =
> [mm]a^2[/mm] + 2ab + [mm]b^2[/mm]

Immerhin siehst Du hieran, daß es  für n=2 gilt: [mm] (1+x)^2=1+2x+x^2 \ge [/mm] 1+2x.

Ebenso gilt es für 1.

Die Gültigkeit für beliebiges n kannst Du mit vollständiger Induktion beweisen.

Versuch's mal.

Gruß v. Angela

Gruß v. Angela







Bezug
                
Bezug
(1+x)^n >= (1+nx) ?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:04 So 21.10.2007
Autor: Paul1985


> Immerhin siehst Du hieran, daß es  für n=2 gilt:
> [mm](1+x)^2=1+2x+x^2 \ge[/mm] 1+2x.

Richtig.... aber wo bleibt bei dir die [mm] x^2 [/mm] auf der rechten seite?
Es müsste doch heißen
[mm] (1+x)^2=1+2x+x^2 \ge 1+2x+x^2 [/mm] :(


Bezug
                        
Bezug
(1+x)^n >= (1+nx) ?: Ungleichung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:07 So 21.10.2007
Autor: Loddar

Hallo Paul!


Du darfst nicht vergessen, dass es sich hierbei um eine Ungleichung - also um eine Abschätzung - handelt. Da muss links und rechts des Ungleichheitszeichens nicht zwangsläufig dasselbe stehen.

Diese []BERNOULLI'sche Ungleichung dient z.B. zur Abschätzung von Potenzfunktionen.


Gruß
Loddar


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