(1+a)^n>=1+na+0,5n(n-1)a^2 < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] (1+a)^n\ge1+na+0,5n(n-1)a^2 [/mm] für [mm] a\ge [/mm] 0 und n aus natürlichen Zahlen mit 0. |
Hallo, zusammen,
Brauche einen kleinen Tipp, weil ich Übung brauche im Beweis von Ungleichungen.
Für n=0 und a beliebig gilt es, für a=0 und n beliebig ebenfalls.
Jetzt gilt es, für [mm] n\ge [/mm] 1 und a>0 zu beweisen.
[mm] (1+a)^{n+1}\ge 1+(n+1)a+0,5(n+1)na^2=1+na+a+0,5n^2a^2+0,5na^2
[/mm]
Jetzt spalte ich links auf in [mm] (1+a)^n*(1+a)\ge (1+na)*(1+a)=1+na+a+na^2
[/mm]
Jetzt hab ich gedacht, dass ich zeigen könnte, dass [mm] na^2\ge 0,5n^2a^2+0,5na^2 [/mm] ist, aber das führt zu [mm] n\le [/mm] 1, was mir ja nicht weiterhilft!
Vielen Dank im Voraus,
Stefan.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 So 18.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
[mm] $$(1+a)^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \red{(1+a)^n}*(1+a) [/mm] \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ [mm] \left[ \ \red{1+n*a+0{,}5*n*(n-1)*a^2} \ \right]*(1+a) [/mm] \ = \ ...$$
Fasse nun zusammen / multipliziere die Klammern aus.
Für den roten Term ganz vorne habe ich die Induktionsvoraussetzung eingesetzt.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Klar, das ist ja das Prinzip, dass mans einsetzt :/ vielen dank!
|
|
|
|
