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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 Mo 11.05.2015 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, betrachte [mm] $X=\left\{0,1\right\}^{\mathbb{Z}}$ [/mm] und darauf den Links-Shift [mm] $\sigma\colon X\to [/mm] X$.
Auf [mm] $\left\{0,1\right\}$ [/mm] wird die diskrete Topologie betrachtet und auf X dann die zugehörigen Produkttopologie.
Kann man die nichtwandernde Menge angeben?
Wenn ja, wie lautet sie? |
Also die nicht-wandernde Menge besteht aus allen x in X für die gilt: Für jede Umgebung U von x gibts ein $n>0$ sodass [mm] $U\cap \sigma^n(U)\neq\emptyset$.
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Mo 11.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mikexx!
> Hallo, betrachte [mm]X=\left\{0,1\right\}^{\mathbb{Z}}[/mm] und
> darauf den Links-Shift [mm]\sigma\colon X\to X[/mm].
>
> Auf [mm]\left\{0,1\right\}[/mm] wird die diskrete Topologie
> betrachtet und auf X dann die zugehörigen
> Produkttopologie.
>
> Kann man die nichtwandernde Menge angeben?
> Wenn ja, wie lautet sie?
Sie lautet ganz X.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Mo 11.05.2015 | | Autor: | mikexx |
Wie ergibt sich das?
Ich kann es nur sehr theoretisch erklären (hab es so gefunden in einem Buch).
Die periodischen Punkte liegen dicht in X. Und daraus folgt, dass [mm] $\Omega(\sigma)=X$.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Mo 11.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Wie ergibt sich das?
Sei [mm] $x\in [/mm] X$.
Zu zeigen ist: $x$ ist nichtwandernd
Sei U eine Umgebung von $x$.
Zu zeigen ist die Existenz einer natürlichen Zahl $n>0$ mit [mm] $U\cap\sigma^n(U)\not=\emptyset$.
[/mm]
Durch Verkleinern von U kann dazu oBdA angenommen werden, dass
[mm] $U=\{y\in X\;|\;y|_M=x|_M\}$
[/mm]
mit
[mm] $M:=\{i\in\IZ\;|\;-m\le i\le m\}$
[/mm]
für ein genügend großes [mm] $m\in\IN$ [/mm] gilt.
(Wenn ich das genauer erläutern soll bitte nachfragen.)
Sei $n:=2*m+1$ und
[mm] $y\in [/mm] X$
definiert durch
$y(i):=x(i)$ für [mm] $i\le [/mm] m$
und
$y(i):=x(i-n)$ für $i>m$.
Dann gilt [mm] $y\in [/mm] U$ und [mm] $\sigma^n(y)\in [/mm] U$, also [mm] $\sigma^n(y)\in U\cap\sigma^n(U)$.
[/mm]
> Ich kann es nur sehr theoretisch erklären (hab es so
> gefunden in einem Buch).
>
> Die periodischen Punkte liegen dicht in X. Und daraus
> folgt, dass [mm]\Omega(\sigma)=X[/mm].
(Von der Theorie habe ich keine Ahnung.)
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