www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Lagrange
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Lagrange

Satz von Lagrange

Sei G eine endliche Gruppe und $ U\le G $. Dann gilt:

                  $ |G|=|T|\cdot|U| $

mit T Links- oder Rechtstransversale von U in G. Insbesondere haben alle Transversalen von U in G gleiche Mächtigkeit.
Diese Anzahl heißt Index von U in G, schreibe |G:U|. Also gilt:

                  $ |G|=|G:U|\cdot|U| $.


Beweis

T Linkstransversale von U in G   $ \Rightarrow $   $ G=\bigcup_{t\in T}^{\cdot}tU $ und $ |G|=\sum_{t\in T}|tU| $.

Wegen |tU|=|U| folgt:

                  $ |G|=|T|\cdot|U| $,

denn $ |G|=\sum_{t\in T}|tU|=\sum_{t\in T}|U|=|T|\cdot|U| $.   $ \square $


Korollar (Kleiner Satz von Fermat)

Sei $ a\in \IZ $ nicht durch eine Primzahl p teilbar. Dann gilt: $ p|(a^{p-1}-1) $.

(Beweis: Die Gruppe der invertierbaren Elemente in $ (\IZ/p\IZ,\cdot) $ hat Ordnung p-1.)


Verallgemeinerung des Satzes

Sind U und V Untergruppen der endlichen Gruppe G mit $ U \subseteq V $, dann gilt

                  $ [G : U] = [G : V ] \cdot [V : U] $.


Beweis

Wende den Satz von Lagrange mehrfach an und kürze |U| heraus:

                  $ |G| = [G:U] \cdot |U| = [G:V] \cdot |V| = [G:V ] \cdot [V:U]\cdot|U| $.      $ \square $


Anwendung

Sei $ S_3:=\{id, d,d^2,\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\} $ die symmetrische Gruppe, wobei

$ id:=\pmat{1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3}=\pmat{1} $, $ d:=\pmat{1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1}=\pmat{1 & 2 & 3} $, $ d^2:=\pmat{1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2}=\pmat{1 & 3 & 1} $,

$ \sigma_1:=\pmat{1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2}=\pmat{2 & 3} $, $ \sigma_2:=\pmat{1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1}=\pmat{1 & 3} $, $ \sigma_3:=\pmat{1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3}=\pmat{1 & 2} $.

Es ist ord(id)=1, $ ord(d)=3=ord(d^2) $ und $ ord(\sigma_1)=ord(\sigma_2)=ord(\sigma_3)=2 $.

Wir bestimmen nun alle Untergruppen von $ S_3 $.

Wegen $ |S_3|=6 $ hat $ S_3 $ höchstens Untergruppen der Ordnung 1,2,3 und 6. Die trivialen Untergruppen $ \{id\} $ bzw. $ S_3 $ haben Ordnung 1 bzw. 6 und sind einzige Untergruppen dieser Ordnungen.
Elemente der Ordung 2 erzeugen folgende zweielementige Untergruppen, die die einzigen Untergruppen mit Ordung 2 sind:

$ U_1=\langle\sigma_1\rangle=\{id,\sigma_1\} $, $ U_2=\langle\sigma_2\rangle=\{id,\sigma_2\} $ und $ U_3=\langle\sigma_3\rangle=\{id,\sigma_3\} $

Wegen $ d^{-1}=d^2 $ ist $ V=\langle d\rangle=\langle d^2\rangle=\{id, d,d^2\} $. Zudem ist V einzige Untergruppe mit Ordnung 3. Denn jede andere Untergruppe mit drei Elementen enthält ein $ \sigma_1 $, $ \sigma_2 $ oder $ \sigma_3 $ und ist deshalb Untergruppe der Ordung 2. Nach Lagrange hat sie dann nicht Ordnung 3.



Literatur

isbn9783827430113 C. Karpfinger, K. Meyberg: Algebra, Springer Spektrum, 2013

Erstellt: Mi 25.02.2015 von Ladon
Letzte Änderung: Sa 28.03.2015 um 15:18 von Ladon
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext
^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]