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Bernoulli-Ungleichung
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Bernoulli-Ungleichung

Satz Bernoulli-Ungleichung

Voraussetzungen und Behauptung
Seien $ K=(K,+,\cdot{},<) $ ein geordneter Körper und $ x \in K $, $ x\ge-1_K $ sowie $ n \in \IN $.
Dann gilt (mit $ 1=1_K $):

$ (1+x)^n \ge 1+n\cdot{}x $.


Bemerkungen.


Beispiele.

Wir wählen jeweils ein $ n \in \IN $. Da $ \IR=(\IR,+,\cdot{},<) $ ein geordneter Körper ist, können wir obige Ungleichung dann für ein paar $ x $-Werte aus $ \IR $ testen.

1.)  $ x:=2\ge-1 $ und $ n:=3 \in \IN $ erfüllen die Voraussetzungen und liefern beim Einsetzen in die obige Ungkleichung:
$ (1+2)^3 \ge 1+3\cdot{}2 $
$ \gdw $
$ 3^3=27 \ge 7 $
Da die letzte Ungleichung wahr ist, ist also auch die obere wahr.

2.) $ x:=-0,5 \ge-1 $ und $ n:=2\in \IN $ erfüllen die Voraussetzungen und liefern beim Einsetzen in die obige Ungkleichung:
$ (1+(-0,5))^2 \ge 1+2\cdot{}(-0,5) $
$ \gdw $
$ 0,5^2=0,25 \ge 0 $
Da die letzte Ungleichung wahr ist, ist also auch die obere wahr.

3.) $ x:=0\ge-1 $ und $ n:=10 \in \IN $ erfüllen die Voraussetzungen und liefern beim Einsetzen in die obige Ungkleichung:
$ (1+0)^{10} \ge 1+10\cdot{}0 $
$ \gdw $
$ 1^{10}=1 \ge 1 $.
Da die letzte Ungleichung wahr ist, ist also auch die obere wahr.

4.) $ x:=\left(\sqrt{7}-1\right) \ge-1 $ und $ n:=4 \in \IN $ erfüllen die Voraussetzungen und liefern beim Einsetzen in die obige Ungkleichung:
$ \left(1+\left(\sqrt{7}-1\right)\right)^4 \ge 1+4\cdot{}\left(\sqrt{7}-1\right) $
$ \gdw $
$ \left(\sqrt{7}\right)^4=49 \ge -3+4\cdot{}\sqrt{7} $.
Auch hier ist die letzte Ungleichung wahr (und damit auch die obere), denn:
Es gilt: $ \sqrt{7}\le\sqrt{9}=3 $ und daher folgt:
$ -3+4\cdot{}\sqrt{7}<4\cdot{}\sqrt{7}\le4\cdot{}\sqrt{9}=4\cdot{}3=12\le49 $


Beweis.

Per Induktion:

Induktionsanfang:
$ m=1 $ $ \leftarrow $ klar

Induktionsschritt:
$ m \mapsto m+1: $
$ (1+x)^{m+1}=\underbrace{(1+x)}_{\ge 0}(1+x)^m\stackrel{Ind.-Vor.}{\ge}(1+x)(1+m\cdot{}x)=1+m\cdot{}x+x+\underbrace{mx^2}_{\ge0}\ge 1+(m+1)\cdot{}x $          $ \Box $

Erstellt: Do 04.11.2004 von Marcel
Letzte Änderung: Do 04.11.2004 um 18:04 von Marcel
Weitere Autoren: Marc
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