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Dipl. math. Felix Fontein Dipl. math. Dieter Osterholz	www.matheraum.de Algebra-Training 2006 Aufgabenblatt 4 Abgabe: Fr 06.10.2006 12:00	22.09.2006
Wie angekuendigt springen wir erstmal fuer den Abschnitt 5.1 nach Kapitel 5.
Aufgabe 14
Sei G eine Gruppe, $\mathcal{U} = \{ U \subseteq G \mid U \text{ Untergruppe } \}$ die Menge aller Untergruppen von G und $\mathcal{N} := \{ U \in \mathcal{U} \mid U \text{ Normalteiler } \}$ die Menge aller Normalteiler in G. (i) Zeige, dass $\Psi : G \times \mathcal{U} \to \mathcal{U}, \; (g, U) \mapsto g U g^{-1}$ eine Operation von G auf $\mathcal{U}$ liefert. (ii) Zeige, dass die Bahn eines Elementes $U \in \mathcal{U}$ genau dann aus einem Element besteht, wenn U ein Normalteiler in G ist. (iii) Sei fuer eine Primzahl p und $n \in \IN$ . Dann ist $\|\mathcal{U} \setminus \mathcal{N}\|$ durch p teilbar.
Aufgabe 15
Sei G eine endliche Gruppe, $U \subseteq G$ eine Untergruppe und der Normalisator von U in G. Setze $M := \bigcup_{g\in G} g U g^{-1}$ . (i) Beweise $\|M\| \le (G : N_U) \cdot \|U\|$ . (ii) Sei $U \neq G$ . Zeige, dass dann auch $M \neq G$ ist.
Aufgabe 16
Sei G eine Gruppe, $U \subseteq G$ eine Untergruppe und bzw. der Normalisator bzw. Zentralisator von U in G. Zeige, dass ein Normalteiler in ist und dass isomorph zu einer Untergruppe von der Automorphismengruppe $Aut(U) = \{ \varphi : U \to U \mid \varphi \text{ Automorphismus } \}$ ist.
Aufgabe 17
Sei G eine Gruppe mit , wobei p eine Primzahl sei und $n \in \IN$ . Zeige, dass das Zentrum Z von G mindestens p Elemente umfasst. Hinweis: Klassengleichung.