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Algebra-Training 2006
Aufgabenblatt 4
Abgabe: Fr 06.10.2006 12:00		22.09.2006
Wie angekuendigt springen wir erstmal fuer den Abschnitt 5.1 nach Kapitel 5.
Aufgabe 14

Sei G eine Gruppe, $ \mathcal{U} = \{ U \subseteq G \mid U \text{ Untergruppe } \} $ die Menge aller Untergruppen von G und $ \mathcal{N} := \{ U \in \mathcal{U} \mid U \text{ Normalteiler } \} $ die Menge aller Normalteiler in G.

(i) Zeige, dass $ \Psi : G \times \mathcal{U} \to \mathcal{U}, \; (g, U) \mapsto g U g^{-1} $ eine Operation von G auf $ \mathcal{U} $ liefert.

(ii) Zeige, dass die Bahn eines Elementes $ U \in \mathcal{U} $ genau dann aus einem Element besteht, wenn U ein Normalteiler in G ist.

(iii) Sei $ |G| = p^n $ fuer eine Primzahl p und $ n \in \IN $. Dann ist $ |\mathcal{U} \setminus \mathcal{N}| $ durch p teilbar.
Aufgabe 15

Sei G eine endliche Gruppe, $ U \subseteq G $ eine Untergruppe und $ N_U $ der Normalisator von U in G. Setze $ M := \bigcup_{g\in G} g U g^{-1} $.

(i) Beweise $ |M| \le (G : N_U) \cdot |U| $.

(ii) Sei $ U \neq G $. Zeige, dass dann auch $ M \neq G $ ist.
Aufgabe 16

Sei G eine Gruppe, $ U \subseteq G $ eine Untergruppe und $ N_U $ bzw. $ Z_U $ der Normalisator bzw. Zentralisator von U in G. Zeige, dass $ Z_U $ ein Normalteiler in $ N_U $ ist und dass $ N_U/Z_U $ isomorph zu einer Untergruppe von der Automorphismengruppe $ Aut(U) = \{ \varphi : U \to U \mid \varphi \text{ Automorphismus } \} $ ist.
Aufgabe 17

Sei G eine Gruppe mit $ |G| = p^n $, wobei p eine Primzahl sei und $ n \in \IN $. Zeige, dass das Zentrum Z von G mindestens p Elemente umfasst.

Hinweis: Klassengleichung.
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