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Forum "Differentialgleichungen" - lineare partielle DGL 1. Ord.
lineare partielle DGL 1. Ord. < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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lineare partielle DGL 1. Ord.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:02 Mi 21.11.2007
Autor: Rudy

Aufgabe
Man bestimme die allgemeine Lösung der linearen partiellen DGL 1. Ordnung
[mm] xu_{x} [/mm] - [mm] yu_{y} [/mm] = xy

In unserem Skriptum wird so eine DGL grundsätzlich durch ein System von Phasen-DGLen gelöst, das folgende Form hat:
[mm] \bruch{dx_{1}}{dt} [/mm] = ... bis [mm] \bruch{dx_{n}}{dt} [/mm] = ...
Welchen Ansatz soll ich am besten nehmen bzw. kann man das auch anders berechnen?
Weiters verstehe ich nicht, wie das mit mit dem Störglied (xy) zu lösen ist? (homogene und partikuläre Lsg.?)

        
Bezug
lineare partielle DGL 1. Ord.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:51 Fr 21.03.2008
Autor: MathePower

Hallo Rudy,

> Man bestimme die allgemeine Lösung der linearen partiellen
> DGL 1. Ordnung
>  [mm]xu_{x}[/mm] - [mm]yu_{y}[/mm] = xy
>  In unserem Skriptum wird so eine DGL grundsätzlich durch
> ein System von Phasen-DGLen gelöst, das folgende Form hat:
> [mm]\bruch{dx_{1}}{dt}[/mm] = ... bis [mm]\bruch{dx_{n}}{dt}[/mm] = ...
>  Welchen Ansatz soll ich am besten nehmen bzw. kann man das
> auch anders berechnen?
>  Weiters verstehe ich nicht, wie das mit mit dem Störglied
> (xy) zu lösen ist? (homogene und partikuläre Lsg.?)

Eine lineare partielle DGL 1. Ordnung hat die folgende Gestalt:

[mm]P \ z_{x} + Q \ z_{y}=R[/mm]

,wobei P, Q, R gegebene Terme von x, y, z sind.

Es gilt [mm]dx:dy:dz = P:Q:R[/mm]

Oder anders ausgedrückt:

[mm]\bruch{dx}{dy}=\bruch{P}{Q};\bruch{dx}{dz}=\bruch{P}{R};\bruch{dy}{dz}=\bruch{Q}{R}[/mm]

Je zwei dieser gewöhnlichen DGL's ergeben die Lösungen

[mm]u\left(x, y, z\right)=C_{1}[/mm]

[mm]v\left(x, y, z\right)=C_{2}[/mm]

aus denen die allgemeine Lösung der partiellen DGL folgt:

[mm]w\left(u, v\right)=0[/mm]

Gruß
MathePower

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