isomorphie < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Mi 30.12.2009 | | Autor: | Phecda |
Hallo
gegeben seien die Vektorräume der ungeraden und geraden Funktionen:
U={f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] | f(-x)=-f(x) [mm] \forall [/mm] x in [mm] \IR [/mm] }
G={f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] | f(-x)= f(x) [mm] \forall [/mm] x in [mm] \IR [/mm] }
Sind U und G als [mm] \IR-Vektorräume [/mm] isomorph?
Ich suche also eine bijektive Abbildung, welche aus einer ungeraden eine gerade Funktion macht.
Wie wäre es mit der spiegelung der Funktion an der x Achse, auf dem negativen Definitionsbereich?
So eine Spiegelung ist doch bijektiv? Zwei ungleiche Funktionen werden auch auf ungleiche Funktionen gespiegelt.
Jede Gerade Funktion bzw. ungerade Funktion hat eine Urbild dahingehend, dass es zu der geraden Funktion eine ungerade Funktion und umgekehrt gibt, also ist die oben beschriebene Spiegelung auch surjektiv?
Ist das Okay?
danke & grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:50 Mi 30.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Hallo
> gegeben seien die Vektorräume der ungeraden und geraden
> Funktionen:
>
> U={f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] | f(-x)=-f(x) [mm]\forall[/mm] x in [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> G={f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] | f(-x)= f(x) [mm]\forall[/mm] x in [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Sind U und G als [mm]\IR-Vektorräume[/mm] isomorph?
>
> Ich suche also eine bijektive Abbildung, welche aus einer
> ungeraden eine gerade Funktion macht.
>
> Wie wäre es mit der spiegelung der Funktion an der x
> Achse, auf dem negativen Definitionsbereich?
Hervorragende Idee
FRED
>
> So eine Spiegelung ist doch bijektiv? Zwei ungleiche
> Funktionen werden auch auf ungleiche Funktionen
> gespiegelt.
> Jede Gerade Funktion bzw. ungerade Funktion hat eine
> Urbild dahingehend, dass es zu der geraden Funktion eine
> ungerade Funktion und umgekehrt gibt, also ist die oben
> beschriebene Spiegelung auch surjektiv?
>
> Ist das Okay?
> danke & grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Mi 30.12.2009 | | Autor: | Phecda |
ist die begründung auch logisch korrekt?
gut danke!
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> ist die begründung auch logisch korrekt?
> gut danke!
Hallo,
schon, aber ich denke, daß man von Dir erwartet, daß Du kurzerhand angibst, wie Du die Bijektion [mm] \varphi [/mm] definierst, und dann kannst Du Surjektivität und Injektivität ja vorrechnen ohne viele Worte.
Also [mm] \varphi: U\to [/mm] G mit
[mm] \varphi(f):= g_f [/mm] für alle [mm] f\in [/mm] U mit [mm] g_f(x):= [/mm] ??? für alle x.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:15 Mi 30.12.2009 | | Autor: | Phecda |
ja klar. das war ja nur die idee..
gut merci
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> > ist die begründung auch logisch korrekt?
> > gut danke!
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> Hallo,
>
> schon, aber ich denke, daß man von Dir erwartet, daß Du
> kurzerhand angibst, wie Du die Bijektion [mm]\varphi[/mm]
> definierst, und dann kannst Du Surjektivität und
> Injektivität ja vorrechnen ohne viele Worte.
... wobei ich man hier wohl bei der Injektivität auf die Nase fallen wird, s. steppenhahns Hinweise.
Gruß v. Angela
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Hallo,
> Hallo
> gegeben seien die Vektorräume der ungeraden und geraden
> Funktionen:
>
> U={f: [mm] \IR ->\IR [/mm] | f(-x)=-f(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] }
> G={f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] | f(-x)= f(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in\IR [/mm] }
>
> Sind U und G als [mm]\IR-Vektorräume[/mm] isomorph?
>
> Ich suche also eine bijektive Abbildung, welche aus einer
> ungeraden eine gerade Funktion macht.
>
> Wie wäre es mit der spiegelung der Funktion an der x
> Achse, auf dem negativen Definitionsbereich?
Ich bin mir nicht sicher, ob diese Spiegelung bijektiv ist...
Das blöde an punktsymmetrischen Funktionen ist ja, dass f(0) = 0 sein muss.
Bei achsensymmetrischen Funktionen kann allerdings f(0) = c [mm] \in\IR [/mm] beliebig sein...
Gibt es eine Möglichkeit, dieses Problem aus der Welt zu schaffen, oder gibt es keinen Isomorphismus zwischen den beiden Mengen?
Danke für Eure Hilfe,
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Sa 02.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist ja nicht von stetigen fkt die Rede, also hast du auch ungerade fkt, die nicht durch 0 gehen, etwa dei, bei denen du gerade fkt, die nicht durch 0 gehen spiegelst.
gruss leduart
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Hallo leduart,
erstmal danke für deine Antwort!
> Hallo
> es ist ja nicht von stetigen fkt die Rede, also hast du
> auch ungerade fkt, die nicht durch 0 gehen, etwa lee, bei
> denen du gerade, die nicht durch 0 gehen spiegelst.
Was ist "lee"?
Aber folgt nicht aus f(-x) = -f(x) zwangsweise f(0) = -f(0), also f(0) = 0 ?
Ich muss ein gewaltiges Brett vorm Kopf haben...
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Sa 02.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
sorry fuer das lee, hab ich verbessert
Aber du hast recht f(0)=0 ist notwendig.
also musst du von allen geraden fkt ihren fktwert bei 0 abziehen, und dann spiegeln. dann hast du schon ne ueberabzaehlbare menge, dazu kannst du noch die fkt, die sich nur durch ne Konstante unterscheiden addieren, dadurch erhoehst du die maechtigkeit der Menge nicht. Oder du setzt bei der Spiegelung der geraden fkt. f(0)=0 und spiegelst nur fuer x<0
Wenn die fkt "brav" sind, also z.bsp differenzierbar, kannst du die Geraden integrieren (von 0 an) die ungeraden differenzieren.
Gruss leduart
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Hallo leduart,
erstmal wieder danke für deine Antwort!
Wenn ich das richtig aus deiner Antwort herauslese, läuft es aber immer darauf hinaus, dass ich die gerade Funktion irgendwie "passend" mache, indem ich f(0) auf 0 "setze" ?
Das ist meiner Meinung nach problematisch, weil meine Abbildungsfunktion von den geraden Funktionen zu den ungeraden Funktionen dann doch nicht mehr injektiv ist?
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:10 So 03.01.2010 | | Autor: | Nevanna |
Kann man hier dann nicht sagen, dass im Fall f(0)=0 die Isomorphie vorliegt, sonst nicht?
(an steppenhahn:ich schätze mal, wir beide sitzen in derselben Vorlesung ;))
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Hallo Nevanna,
> Kann man hier dann nicht sagen, dass im Fall f(0)=0 die
> Isomorphie vorliegt, sonst nicht?
Nein. Schließlich ist gefragt, ob die gesamten Mengen isomorph sind.
> (an steppenhahn:ich schätze mal, wir beide sitzen in
> derselben Vorlesung ;))
Womöglich 
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 Mo 04.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Definiere F:G [mm] \to [/mm] U wie folgt:
(F(f))(x) := f(x) , falls x>0,
(F(f))(x) :=-f(x) , falls x<0
und
(F(f))(0) :=0
Dann ist F linear, aus F(f) = 0 folgt f=0, F ist also injektiv.
Edit: wie Steppenhahn richtig bemerkt hat, steht oben Unsinn. F ist nicht injektiv !
Ist u [mm] \in [/mm] U, so setze
f(x) := u(x), für x [mm] \ge [/mm] 0
und
f(x) := -u(x), für x < 0
Dan ist f [mm] \in [/mm] G und F(f) = u. F ist also surjektiv.
FRED
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Hallo Fred,
erstmal danke für deine Antwort!
> Definiere F:G [mm]\to[/mm] U wie folgt:
>
> (F(f))(x) := f(x) , falls x>0,
>
> (F(f))(x) :=-f(x) , falls x<0
>
> und
>
> (F(f))(0) :=0
>
> Dann ist F linear, aus F(f) = 0 folgt f=0, F ist also
> injektiv.
Aber wieso folgt aus F(f) = 0 denn f = 0? Nach deiner Definition könnte doch auch gegolten haben:
f(x) = [mm] \begin{cases}0, \mbox{ falls } x \not= 0\\ 1, \mbox{ falls } x = 0\end{cases}\not= [/mm] 0,
oder?
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 Mo 04.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> erstmal danke für deine Antwort!
>
> > Definiere F:G [mm]\to[/mm] U wie folgt:
> >
> > (F(f))(x) := f(x) , falls x>0,
> >
> > (F(f))(x) :=-f(x) , falls x<0
> >
> > und
> >
> > (F(f))(0) :=0
> >
> > Dann ist F linear, aus F(f) = 0 folgt f=0, F ist also
> > injektiv.
>
> Aber wieso folgt aus F(f) = 0 denn f = 0? Nach deiner
> Definition könnte doch auch gegolten haben:
>
> f(x) = [mm]\begin{cases}0, \mbox{ falls } x \not= 0\\ 1, \mbox{ falls } x = 0\end{cases}\not=[/mm]
> 0,
>
> oder?
Au Backe, Du hast recht ! Da habe ich nicht aufgepasst
FRED
>
> Grüße,
> Stefan
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Kein Problem 
So langsam komme ich aber zu der Vermutung, dass das mit der Isomorphie aufgrund dieser kleinen Feinheit nicht klappen wird. Allerdings tue ich mich schwer mit einem Beweis...
Es ist also zu zeigen, dass
G = Menge der auf ganz [mm] \IR [/mm] definierten geraden Funktionen
und
U = Menge der auf ganz [mm] \IR [/mm] definierten ungeraden Funktionen
nicht isomorph sind.
Dafür nehme ich an, solch ein Isomorphismus F würde existieren, und muss das zum Widerspruch führen. Ich müsste ja irgendwie dieses "x = 0" - Problem einbinden, das Probleme mit der Injektivität macht...
Seien [mm] g_{1},g_{2}\in [/mm] G mit [mm] F(g_{1}) [/mm] = [mm] F(g_{2}). [/mm] Dann müsste ich folgern können: [mm] $g_{1} [/mm] = [mm] g_{2}$, [/mm] d.h. [mm] g_{1}(x) [/mm] = [mm] g_{2}(x) [/mm] für alle [mm] x\in\IR.
[/mm]
Aber wie geht's weiter?
Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Mo 04.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Stefan,
tatsächlich meine ich beweisen zu können, dass die beiden Vektorräume isomorph sind. Der Beweis fußt auf der Existenz einer Bijektion zwischen der Menge der reellen Zahlen größer 0 und der Menge der reellen Zahlen größer gleich 0. Leider habe ich momentan keine Zeit, den Beweis auszuführen, er folgt im Laufe des Tages... (wenn ihn nicht bis dahin jemand anders geführt hat).
Viele Grüße
Tobias
EDIT: Hier nun eine Beweisskizze:
Seien [mm]\IR_{\ge 0}[/mm] und [mm]\IR_{>0}[/mm] die Mengen der reellen Zahlen größer gleich bzw. größer 0. Sei N der Vektorraum aller Abbildungen von [mm]\IR_{\ge 0}[/mm] nach [mm]\IR[/mm] und sei M der Vektorraum aller Abbildungen von [mm]\IR_{>0}[/mm] nach [mm]\IR[/mm].
1. Die Vektorräume G und N sowie die Vektorräume U und M sind jeweils isomorph. Es genügt also, die Isomorphie von N und M zu zeigen.
2. Es existiert eine Bijektion [mm]\sigma:\IR_{\ge 0}\to\IR_{>0}[/mm]. Dies kann man auf zwei Arten einsehen:
a) Aus der Mengenlehre könnte bekannt sein, dass sich die Kardinalität einer unendlichen Menge nicht ändert, wenn man ihr ein Element hinzufügt.
b) Man gibt eine solche Bijektion direkt an: [mm]\sigma:\IR_{\ge 0}\to\IR_{>0},\;x\mapsto\begin{cases} x+1, & \mbox{für } x\in\IN_0 \\ x, & \mbox{sonst}\end{cases}[/mm].
3. Die Abbildung [mm]\Phi:M\to N, f\mapsto(x\mapsto f(\sigma(x)))[/mm] ist ein Isomorphismus.
Um die Bijektivitäten bei 1., 2.b) und 3. zu zeigen, gibt man am besten Umkehrabbildungen an.
Falls ich irgendeinen Punkt ausführen soll, fragt bitte nach.
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Hallo Tobias,
erstmal vielen Dank für deine Antwort und den Beweis
> EDIT: Hier nun eine Beweisskizze:
>
> Seien [mm]\IR_{\ge 0}[/mm] und [mm]\IR_{>0}[/mm] die Mengen der reellen
> Zahlen größer gleich bzw. größer 0. Sei N der
> Vektorraum aller Abbildungen von [mm]\IR_{\ge 0}[/mm] nach [mm]\IR[/mm] und
> sei M der Vektorraum aller Abbildungen von [mm]\IR_{>0}[/mm] nach
> [mm]\IR[/mm].
>
> 1. Die Vektorräume G und N sowie die Vektorräume U und M
> sind jeweils isomorph. Es genügt also, die Isomorphie von
> N und M zu zeigen.
Das ist mir klar, und scheint mir auch "offensichtlich" genug zu sein
(Eine) Bijektion [mm] f:N\to [/mm] G wäre dann doch:
[mm] $g(x):=\begin{cases}n(x), x \ge 0\\ n(-x), x < 0\end{cases}$
[/mm]
Nach deinen Konstruktionen ergibt sich aber keine "schöne" Bijektion mehr von G nach U
Ich überlege gerade, wie man das "direkt" machen könnte, also diese Bijektion von G nach U.
[mm] $f:G\to [/mm] U$
u(x) = [mm] \begin{cases}g(x), x >0 \mbox { und } x\not\in\IN\\ g(x-1), x\in\IN \\ 0, x = 0\\ g(-x), x < 0 \mbox{ und } x\not\in -\IN \\ g(x+1), x\in-\IN \end{cases}
[/mm]
So sähe das dann in etwa aus, oder? (mit [mm] -\IN [/mm] meine ich die negativen ganzen Zahlen, beginnend jeweils bei -1 bzw. 1).
Vielen, vielen Dank nochmal für die tolle Idee
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:22 Di 05.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> (Eine) Bijektion [mm]f:N\to[/mm] G wäre dann doch:
>
> [mm]g(x):=\begin{cases}n(x), x \ge 0\\ n(-x), x < 0\end{cases}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nach deinen Konstruktionen ergibt sich aber keine "schöne"
> Bijektion mehr von G nach U
Da hast du allerdings recht...
> Ich überlege gerade, wie man das "direkt" machen könnte,
> also diese Bijektion von G nach U.
>
> [mm]f:G\to U[/mm]
>
> u(x) = [mm]\begin{cases}g(x), x >0 \mbox { und } x\not\in\IN\\ g(x-1), x\in\IN \\ 0, x = 0\\ g(-x), x < 0 \mbox{ und } x\not\in -\IN \\ g(x+1), x\in-\IN \end{cases}[/mm]
>
> So sähe das dann in etwa aus, oder?
Ich glaube schon, abgesehen davon, dass in den unteren beiden der fünf Fälle vorne jeweils ein Minuszeichen fehlt.
Oje, wirklich schön finde ich diesen Isomorphismus nicht...
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Hallo Tobias,
ich finde den Isomorphismus eigentlich trotzdem schön, weil er seine Aufgabe mit Würde erfüllt
Vielen Dank für deine Hilfe und Korrektur!
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:03 Mo 04.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Weiß jemand, wie ich die obige Frage nunmehr als beantwortet (und somit nicht mehr nur teilweise beantwortet) markieren kann? Oder könnte jemand das für mich tun? Danke!
EDIT: Danke angela.h.b.!
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Hallo Phecda und steppenhahn,
ich wäre interessiert daran, zu erfahren, wie sich Eure Chefs die Lösung der Aufgabe vorgestellt haben, also an der Musterlösung bzw. der Lösungsidee.
Ich gehe mal davon aus, daß Ihr zunächst gezeigt habt, daß der Raum V der reellen Funktionen sich schreiben läßt als V=G [mm] \oplus [/mm] U, und ich frage mich, ob dies dann irgendwie noch ausgeschlachtet und verwendet wird, so in dem Stile "weil [mm] G\cong [/mm] V/U ist auch (was weiß ich)..."
Gruß v. Angela
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