binominalkoeffizenten im C < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hallo geduldige ...
ich habe eine frage, es geht um die anwendung der eulerschen formel,
die frage die ich habe bezieht sich aber auf binominalkoeffizenten anwendung bei komplexen zahlen ...
beispiel:
[mm] (x+iy)^2 [/mm] = realteil: [mm] x^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm]
imaginaerteil: 2xy
also : [mm] x^2 [/mm] + 2xyi - [mm] y^2
[/mm]
ich habe hier ganz einfach die komplexen multiplication angewendet :
(a+bi)(c+di) = (ac-bd + i(ad+bc))
das sieht ja fuer mich mit ein wenig umsortieren aus wie der normale zweite binominalkoeffizent ....
aber muesste dann die komplexe zahl nicht ( x-yi) lauten ?
oder irre ich da ?
ich frage nur weil mir nicht klar ist, was ich mit einer komplexen zahl [mm] (x+iy)^3 [/mm] mache, in der letzten klausur tauchten da naemlich
an etlichen stellen minus zeichen auf, wenn ich das von hand ausrechnen wuerde wuerde ich wahrscheinlich auch drauf kommen,
aber ich wuerde gerne die binominal koeffizenten anwenden ...
also
[mm] (x+iy)^3 [/mm] = [mm] x^3 [/mm] + 3 x^2y + 3 [mm] xy^2+y^3
[/mm]
wie muss ich nun die vorzeichen da aendern ? in derklausur ( zum thema eulersche formel anwenden ) war dann naemlich auf einmal
[mm] (x+iy)^3 [/mm] = [mm] x^3 [/mm] + 3 x^2y - 3 [mm] xy^2-y^3
[/mm]
sehr misterioes ... setze ich einfach ab der mitte alles auf - ?!??!? oder wie oder was oder wer jetz ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:28 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo ehrlichbemuehter!
> hallo geduldige ...
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> ich habe eine frage, es geht um die anwendung der
> eulerschen formel,
>
>
> die frage die ich habe bezieht sich aber auf
> binominalkoeffizenten anwendung bei komplexen zahlen ...
>
> beispiel:
>
> [mm](x+iy)^2[/mm] = realteil: [mm]x^2[/mm] - [mm]y^2[/mm]
> imaginaerteil: 2xy
> also : [mm]x^2[/mm] + 2xyi - [mm]y^2
[/mm]
>
>
> ich habe hier ganz einfach die komplexen multiplication
> angewendet :
>
> (a+bi)(c+di) = (ac-bd + i(ad+bc))
Ich rechne es einfach mal vor (ich nehme an: $x,y [mm] \in \IR$):
[/mm]
Es gilt auch hier die allgemeine binomische Formel:
[m](a+b)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}a^k*b^{n-k}[/m] ($a,b [mm] \in \IC$, [/mm] $n [mm] \in \IN_{\,0}$).
[/mm]
Im Falle [mm] $(x+iy)^2$ [/mm] ist $a=x$, $b=iy$, $n=2$:
[m](x+iy)^2=\sum_{k=0}^2 {2 \choose k}x^k*(i*y)^{2-k}
={2 \choose 0} *x^0*(i*y)^{2-0}+{2 \choose 1} *x^1*(i*y)^{2-1}
+{2 \choose 2} *x^2*(i*y)^{2-2}[/m]
[m]=1*1*\underbrace{i^2}_{=-1}*y^2+2*x*i*y+1*x^2*\underbrace{i^0}_{=1}*\underbrace{y^0}_{=1}[/m]
[m]=-y^2+2*i*xy+x^2=x^2-y^2+i*2xy[/m]
Nun zu deiner zweiten Aufgabe
> [mm](x+iy)^3[/mm] = [mm]x^3[/mm] + 3 x^2y + 3 [mm]xy^2+y^3
[/mm]
Da stimmen die Vorzeichen natürlich auch nicht. Auch hier rechne ich es mal vor:
Nach der oben erwähnten binomischen Formel gilt (hier [m]a=x, b=iy[/m] und $n=3$):
[m](x+iy)^3=\sum_{k=0}^3 {3 \choose k} x^k*(i*y)^{3-k}
={3 \choose 0} *x^0*(i*y)^{3-0}+{3 \choose 1} *x^1*(i*y)^{3-1}
+{3 \choose 2} *x^2*(i*y)^{3-2}+{3 \choose 3} *x^3*\underbrace{(i*y)^{3-3}}_{=(i*y)^0=1}[/m]
[m]=(i*y)^3+3*x*(i*y)^2+3*x^2*i*y+x^3
=i^3*y^3+3*x*\underbrace{i^2}_{=-1}*y^2+3*x^2*i*y+x^3[/m]
[m]=i^2*i*y^3-3*x*y^2+i*3x^2*y+x^3
=-i*y^3-3x*y^2+i*3x^2*y+x^3
=(x^3-3xy^2)+i*(3x^2y-y^3)[/m]
Es ist halt wichtig, dass du Klammern setzt und an die  Potenzgesetze denkst sowie an die Tasache, dass [mm] $i^2=-1$ [/mm] gilt.
Viele Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:44 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Achja, wenn du das Pascalsche Dreieck in der zweiten Aufgabe auch wiederentdecken willst:
[m](x+iy)^3=\ldots=x^3+i*3x^2*y-3x*y^2-i*y^3[/m]
Das Pascalsche Dreieck sieht ja hier so aus:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
Damit gilt dann:
[m](x+iy)^3=x^3+3*x^2*(i*y)+3*x*(iy)^2+(iy)^3
=x^3+i*3x^2 y+3x*i^2*y^2+i^3*y^3
=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)[/m]
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ich vergesse allzu leicht das das i ja wie eine normale zahl zu handhaben ist, wenn mann es immer mit ausrechnet ist es eigentlich klar ... ich hoffe nur in der klausur gibt es keine vierte potenz ;)
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nur mal kurz zum verstaendniss :
[mm] i^1=i
[/mm]
[mm]i^2=-1[/mm]
[mm]i^3=i^2*i = -1 *i=-i[/mm] ?
[mm]i^4=i^2*i^2 = -1 *-1=1[/mm] ?
[mm]i^5=i^2*i^2 * i= -1 *-1 * i=i[/mm] ?
das muesste so hinhauen, nach 4 potenzen wiederholt sich das ganze dann ....
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. Ich möchte halt auch, dass es sauber aufgeschrieben ist 