Zyklische Gruppe der Ordnung21 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 So 07.11.2004 | | Autor: | Sunni |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo an alle netten Helfer!
Hier meine Aufgabe:
Sei G eine Gruppe der Ordnung 21. Zeige, dass entweder G zyklisch ist oder dass G nicht-triviale Elemente t und s enthält, für die t³=1 , [mm] s^7=1 [/mm] und ts[mm]t^-1[/mm]=s² gilt. Zeige, dass zwei Gruppen der Ordnung 21, die nicht zyklisch sind, isomorph sind.
Ich verstehe zwar den Sinn und ich weiß auch, was eine zyklische Gruppe ist, trotzdem finde ich irgendwie keinen Ansatz! Dieses entweder - oder kann ich nicht umsetzen.
Vielen Dank für die Hilfe!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Sunni!
Es gilt: $21 = 3 [mm] \cdot [/mm] 7$, also hat eine Gruppe $G$ der Ordnung $21$ genau eine zyklische $7$-Sylowgruppe [mm] $U=\langle [/mm] s [mm] \rangle$ [/mm] der Ordnung $7$, die damit Normalteiler ist. Weiterhin gibt es entweder eine oder sieben $3$-Sylow-Gruppen.
Wenn es eine $3$-Sylow-Gruppe gibt, dann ist die $3$-Sylow-Gruppe auch Normalteiler von $G$ und es gilt:
$G [mm] \cong \IZ/3\IZ \times \IZ/7\IZ \cong \IZ/21\IZ$.
[/mm]
In diesem Fall ist $G$ zyklisch.
Wenn es sieben $3$-Sylow-Gruppen gibt, dann hat ein Element $t [mm] \notin U=\langle [/mm] s [mm] \rangle$ [/mm] die Ordnung $3$. Da $U$ Normalteiler von $G$ ist und $s$ die Ordnung $7$ hat, folgt:
[mm] $tst^{-1} [/mm] = [mm] s^k$
[/mm]
für ein [mm] $k\in \{1,2,\ldots,6\}$.
[/mm]
Da auch $st [mm] \notin [/mm] U$ die Ordnung $3$ besitzt, gilt:
[mm] $(st)^3 [/mm] = e$.
Versuche nun abzuleiten, dass daraus $k=2$ oder $k=4$ folgt und dass die beiden entstehenden nicht-zyklischen Gruppen isomorph zueinander sind. Dann bist du fertig. 
Liebe Grüße
Stefan
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