Wurzel aus einer Primzahl < Klassen 5-7 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:56 Sa 29.10.2005 | | Autor: | blicknix |
hey,
ich habe eine kleine Frage: Wieso ist die Wurzel aus einer Primzahl immer reell? Kann man ueberhaupt eine Wurzel aus einer Primzahl ziehen?
Gruss,
blicknix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:01 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen blicknix!
Im Bereich der reellen Zahlen [mm] $\IR$ [/mm] kannst Du aus allen nicht-negativen Zahlen (= positive Zahlen und die Null = [mm] $\IR_0^+$ [/mm] ) die Wurzel ziehen und erhältst daraus wiederum eine reelle Zahl.
Damit gilt das natürlich auch für die Primzahlen, die ja alle natürliche Zahlen sind. Und [mm] $\IN_0$ [/mm] ist eine echte Untermenge von [mm] $\IR_0^+$ [/mm] , also ist das Wurzelziehen für die Primzahlen überhaupt kein Problem.
Gruß
Loddar
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Hallo blicknix,
> ich habe eine kleine Frage: Wieso ist die Wurzel aus einer Primzahl immer reell?
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die nur durch sich selbst und durch 1 teilbar ist. Gäbe es eine natürliche Zahl [mm] $n^2 [/mm] = p$, so wäre [mm] $n\!$ [/mm] ein Teiler von [mm] $p\!$. [/mm] Dann wäre [mm] $n\!$ [/mm] aber entweder 1 oder [mm] $p\!$. [/mm] Im ersten Fall würde [mm] $1^2 [/mm] = 1 = p$ gelten, was ein Widerspruch ist, da 1 keine Primzahl ist. Im zweiten Fall würde [mm] $p^2 [/mm] = p$ gelten, was auch ein Widerspruch ist.
Erweitern wir die Menge der natürlichen Zahlen auf ganze und schließlich auf rationale Zahlen, wird der Beweis schon schwieriger, ist aber im Internet zu finden. Suche unter den Stichwörtern "Irrationalität" "Wurzel 2"
> Kann man ueberhaupt eine Wurzel aus
> einer Primzahl ziehen?
Loddar hat dir darauf bereits geantwortet. Ein klares: Ja! 
Grüße
Karl
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