Volumenberechnung (3 Zylinder) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 10:49 Do 08.09.2005 | | Autor: | AT-Colt |
Servus,
nach langer Zeit habe ich auch mal wieder eine Frage...
Ich lerne gerade für eine Vordiplomsklausur und bin über folgende Aufgabe gestoßen:
Gegeben sei die Menge $M = [mm] \{(x,y,z) | x^2+y^2 \le 1, y^2+z^2 \le 1\}$.
[/mm]
Berechne das Volumen der Menge im [mm] \IR^3.
[/mm]
(Genaugenommen wurden die zwei Zylinder gegeben, die [mm] ${x_i}^2+{x_j}^2 \le [/mm] 1$ erfüllen sollten.)
Diese Aufgabe habe ich recht flux hinbekommen, aber dann habe ich den Einsatz erhöht und komme gleich mal nicht weiter ^^;
Was ist, wenn nun die Menge $M = [mm] \{(x,y,z) | x^2+y^2 \le 1, y^2+z^2 \le 1, x^2+z^2 \le 1 \}$ [/mm] gegeben ist? (Quasi der Schnitt aller drei achsenparallelen Kreiszylinder...)
Ich kann mir das Gebilde nichtmal richtig vorstellen ^^;
Ich bin soweit, dass ich es nach dem Cavalierischen Prinzip zerlegt habe zu
$M(z) = [mm] \{(x,y) | |x| \le min\{\wurzel{1-y^2}, \wurzel{1-z^2}\}, |y| \le min\{\wurzel{1-x^2}, \wurzel{1-z^2}\} \}$, [/mm] aber nun komme ich nicht weiter, ich weiss nicht, wie ich die Minima als Integralgrenzen einbauen soll, so dass sich ein geschlossener, lösbarer Ausdruck ergibt...
Man könnte jetzt auch nochmal Cavalieri anwenden und $M(z)(y)$ ermitteln, aber da stehe ich vor dem gleichen Problem :(
Während ich das geschrieben habe, ist mir eine Idee zu $M(z)(y)$ gekommen:
$M(z)(y) = [mm] \{x | |x| \le \wurzel{1-z^2}, |z| > |y|, |x| \le \wurzel{1-y^2}, |z| \le |y| \}$
[/mm]
Ich werde den Gedanken jetzt mal weiter verfolgen, wenn damit auf dem Holzweg sein sollte, wäre ich hocherfreut, wenn mir das jemand mitteilen könnte ^^;
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:31 Do 08.09.2005 | | Autor: | AT-Colt |
So, ich habe wie gesagt die Idee mit dem Minimum/Maximum von $|y|$ und $|z|$ weiterverfolgt und bin zu folgendem Schluss gekommen:
Für $|x|$ gilt letztendlich: $|x| [mm] \le \begin{cases} \wurzel{1-z^2}, & \mbox{für } |y| \le \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \wurzel{1-y^2}, & \mbox{für } |y| > \bruch{1}{\wurzel{2}} \end{cases}$
[/mm]
($|y| [mm] \le \bruch{1}{\wurzel{2}} \Rightarrow [/mm] |z| [mm] \ge \bruch{1}{\wurzel{2}}$)
[/mm]
Nun berechnet man
[mm] $\integral_{-1}^{1} {\integral_{-\wurzel{1-z^2}}^{\wurzel{1-z^2}} {\wurzel{1-max\{|y|,|z|\}^2} dy} dz} [/mm] =$
[mm] $\integral_{-1}^{1} {(\integral_{-\wurzel{1-z^2}}^{-\bruch{1}{\wurzel{2}}}{\wurzel{1-y^2} dy} + \integral_{-\bruch{1}{\wurzel{2}}}^{\bruch{1}{\wurzel{2}}}{\wurzel{1-z^2} dy} + \integral_{\bruch{1}{\wurzel{2}}}^{\wurzel{1-z^2}}{\wurzel{1-y^2} dy}) dz} [/mm] =$
[mm] $2*\integral_{-1}^{1}{\integral_{\bruch{1}{\wurzel{2}}}^{\wurzel{1-z^2}} {\wurzel{1-y^2} dy} dz} [/mm] + [mm] \integral_{-1}^{1} {\wurzel{1-z^2}*\bruch{2}{\wurzel{2}} dz} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{2}-1}{2}*\pi [/mm] + [mm] \bruch{5}{3}$
[/mm]
Weiss zufällig jemand, ob das Ergebnis stimmt?
Ich bin damit erstmal recht zufrieden, weil das ein kleineres Volumen ist als bei den zwei Zylindern, so falsch kann es also nicht sein ^^
greetz
AT-Colt
so, jetzt sollten keine Tippfehler mehr in den Formeln sein...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:48 Sa 10.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo AT-Colt!
Leider konnte dir bei deinem Problem in dem von dir angegebenen Fälligkeitszeitraum hier niemand weiterhelfen.
Vielleicht hast du ja beim nächsten Mal wieder mehr Glück! ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Liebe Grüße
Stefan
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