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Forum "Differenzialrechnung" - Vollständige Induktion
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Vollständige Induktion: (vom Integral von x^2)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:24 Mi 16.11.2005
Autor: sara_99

Hallo,
ich komme leider bei der Induktion zu folgender Formel nicht weiter.
Ich versuche immer irgendwelche Schritte, die aber nicht zum richtigen Ziel führen.
(IA habe ich schon).

[mm] f(x)=1+2^{2}+3^{2}+....n^{2}=1/6 [/mm] n (n+1)(2n+1)

Dann wäre der Anfang vom IS (für n+1):

[mm] f(x)=1+2^{2}+3^{2}+....n^{2}=1/6 [/mm] n (n+1)(2n+1) + [mm] (n+1)^{2} [/mm]

Aber leider habe ich jetzt ziemlich viele Wege probiert um zu einem Ergebnis zu kommen (habe das zu erwartenden Ergebnis schon vorher auf einen anderen Zettel geschrieben) ohne irgendwie in die Nähe zu kommen.

Wäre wirklich über jede Hilfe dankbar!
        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:17 Mi 16.11.2005
Autor: Bastiane

Hallo!

> Hallo,
>  ich komme leider bei der Induktion zu folgender Formel
> nicht weiter.
>  Ich versuche immer irgendwelche Schritte, die aber nicht
> zum richtigen Ziel führen.
>  (IA habe ich schon).
>  
> [mm]f(x)=1+2^{2}+3^{2}+....n^{2}=1/6[/mm] n (n+1)(2n+1)
>  
> Dann wäre der Anfang vom IS (für n+1):
>  
> [mm]f(x)=1+2^{2}+3^{2}+....n^{2}=1/6[/mm] n (n+1)(2n+1) + [mm](n+1)^{2}[/mm]
>  
> Aber leider habe ich jetzt ziemlich viele Wege probiert um
> zu einem Ergebnis zu kommen (habe das zu erwartenden
> Ergebnis schon vorher auf einen anderen Zettel geschrieben)
> ohne irgendwie in die Nähe zu kommen.
>  
> Wäre wirklich über jede Hilfe dankbar!

Also, ich schätze, dass du dich einfach irgendwie im Kreis gedreht hast bzw. irgendwie etwas was ungünstig aufgeschrieben hast. Denn es gilt doch folgendes:

zz.: [mm] \summe_{i=1}^{n+1}i^2=\bruch{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+2+1)=\bruch{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+3) [/mm]

Nun gilt aber:

[mm] \summe_{i=1}^{n+1}i^2 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}i^2+(n+1)^2 [/mm]

und das ist nach Induktionsvoraussetzung:

= [mm] \bruch{1}{6}n(n+1)(2n+1)+(n^2+2n+1) [/mm]

und wenn du das jetzt nur ein bisschen umformst, dann steht es schon da.

Viele Grüße
Bastiane
[cap]



Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktion: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:58 Mi 16.11.2005
Autor: sara_99

Danke für die Antwort, aber genau diese Umformungen sind mein Problem.
Ich kann es irgendwie drehen und wenden wie ich will, aber es haut nicht hin.

Wäre echt super wenn mir jemand die Schritte der Umformung aufschreiben würde. :-)
Bezug
                        
Bezug
Vollständige Induktion: Mathebank!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:14 Mi 16.11.2005
Autor: informix

Hallo Sara,
> Hallo,
>  ich komme leider bei der Induktion zu folgender Formel
> nicht weiter.
>  Ich versuche immer irgendwelche Schritte, die aber nicht
> zum richtigen Ziel führen.
>  (IA habe ich schon).
>  
> [mm]f(x)=1+2^{2}+3^{2}+....n^{2}=1/6[/mm] n (n+1)(2n+1)
>  
> Dann wäre der Anfang vom IS (für n+1):
> [mm]f(x)=1+2^{2}+3^{2}+....n^{2}=1/6[/mm] n (n+1)(2n+1) + [mm](n+1)^{2}[/mm]

[notok]
>  
> Aber leider habe ich jetzt ziemlich viele Wege probiert um
> zu einem Ergebnis zu kommen (habe das zu erwartenden
> Ergebnis schon vorher auf einen anderen Zettel geschrieben)
> ohne irgendwie in die Nähe zu kommen.
>  
> Wäre wirklich über jede Hilfe dankbar!

Vollziehe doch den nächsten Schritt korrekt:
[mm]f(x)=1+2^{2}+3^{2}+....+n^2 + (n+1)^{2}= \bruch{1}{6} n (n+1)(2n+1) +(n+1)^{2} [/mm]
[mm] $=\bruch{1}{6} [/mm] (n+1) ((n+1)+1)(2(n+1)+1) [mm] +((n+1)+1)^{2}$ [/mm]

Dann rechnest du z.B. beide Seiten getrennt aus und freust dich daran, dass links und rechts dasselbe rauskommt! ;-)
Probiers mal!
[guckstduhier] MBInduktion in unserer MBMatheBank.

Gruß informix
Bezug
                                
Bezug
Vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:23 Mi 16.11.2005
Autor: sara_99

Danke dir! :-)
Bezug
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