Transformationsformel < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 So 12.09.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
ich habe einen endlich-dimensionalen euklidischen Vektorraum (sprich einen Vektorraum über [mm] \IR [/mm] mit dem dort erklärten Skalarprodukt) mit Basen A, B und eine entsprechende Transformationsmatrix [mm] T_{A}^{B}. [/mm]
Für jede Bilinearform s auf V gilt dann: [mm] M_{B}(s) [/mm] = [mm] (T_{A}^{B})^t (M_{A}(s)) (T_{A}^{B}).
[/mm]
Sprich, ich kann also zwischen den darstellenden Matrizen von s bzgl. der Basen A und B anhand dieser Transformationsformel hin-und-herwechseln?
Danke und liebe Grüße,
Regine.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Mo 13.09.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Regine!
> ich habe einen endlich-dimensionalen euklidischen
> Vektorraum (sprich einen Vektorraum über [mm]\IR[/mm] mit dem dort
> erklärten Skalarprodukt) mit Basen A, B und eine
> entsprechende Transformationsmatrix [mm]T_{A}^{B}.[/mm]
>
> Für jede Bilinearform s auf V gilt dann: [mm]M_{B}(s)[/mm] =
> [mm](T_{A}^{B})^t (M_{A}(s)) (T_{A}^{B}).
[/mm]
>
> Sprich, ich kann also zwischen den darstellenden Matrizen
> von s bzgl. der Basen A und B anhand dieser
> Transformationsformel hin-und-herwechseln?
Ja, das ist vollkommen richtig. Besonders interessant ist die Formel natürlich dann, wenn $A$ die Standardbasis und $B$ irgendeine andere Basis ist, denn dann lässt sich die Transformationsbasis [mm] $T_A^B$ [/mm] besonders leicht angeben: in den Spalten von [mm] $T_A^B$ [/mm] stehen einfach die Koordinatenvektoren der Basis $B$ (die ja in der Regel einfach bezüglich der Standardbasis gegeben sind).
Du siehst sicherlich die Parallele zur Darstellung linearer Abbildungen bezüglich verschiedener Basen. Es ist doch schön, dass es so etwas auch für Bilinearformen gibt (und sogar grundsätzlich mit der transponierten anstatt der inversen Matrix  ).
Liebe Grüße
Julius
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